가군의 길이

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서, 가군의 길이(틀:Llang)는 가군의 크기를 나타내는 측도이며, 벡터 공간의 차원의 일반화이다.

정의

부분 순서 집합 $(P, \leq)$ 의 길이 $length P$ 는 $P$ 의 부분 집합 가운데 전순서 집합인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다.

length P = \sup {n : x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n}, {x_{0}, \dots, x_{n}} \subseteq P} \in ℤ^{+} \cup {0, \infty}

$R$ 가 (곱셈 항등원을 갖는) 환이라고 하고, $M$ 이 $R$ 의 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 $M$ 의 길이는 $M$ 의 부분 가군의 격자 $Sub (M)$ 의 길이이다.

length M = length Sub (M) = \sup {n : 0 = M_{0} ⊊ M_{1} ⊊ \dots ⊊ M_{n} = M} \in ℤ^{+} \cup {0, \infty}

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 아벨 범주 $𝒜$ 의 대상 $M \in 𝒜$ 의 길이는 $M$ 의 부분 대상 격자 $Sub (M)$ 의 길이이다.

길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다.

0 \to L ↪ M ↠ N \to 0

이 있다고 하자. 그렇다면

length L + length N = length M

이다.

체 $K$ 에 대한 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.)