변형 함자

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 변형 함자(變形函子, 틀:Llang)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, 틀:Llang)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 $F$의, 어떤 아르틴 가환환 $A$에 대한 값 $F(A)$는 다루고자 하는 대상의, $A$ 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

정의

국소 아르틴 가환환의 범주

체 $k$ 위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 $(A,𝔪)$이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 $𝔪$의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 $A$는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

$A=k[x_1,x_2,\dots ,x_m]/(x_1^{n_1},x_2^{n_2},\dots ,x_m^{n_m},p_1,p_2,\dots ,p_r)$

$p_1,\dots ,p_r\in k[x_1,\dots ,x_m]$

$p_i(0,0,\dots ,0)=0\in k\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,r\}$

$𝔪=(x_1,x_2,\dots ,x_m)⊊A$

또한, $A$의 스펙트럼 $\mathrm{Spec}A$은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 $k$가 주어졌을 때 $k[x]/(x^2)$는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 $𝔪=(x)$이다.

체 $k$에 대하여, 범주 $\mathrm{LocArt}(k)$를 다음과 같이 정의하자.

• ${\mathrm{LocArt}}_k$의 대상 $i:k\to A$은 $k$를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 $(A,𝔪)$을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, $k\to A\to A/𝔪$가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
• ${\mathrm{LocArt}}_k$의 사상 $(A,{𝔪}_A,i_A)\to (B,{𝔪}_B,i_B)$은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 $f:A\to B$이다. 즉, $f\circ i_A=i_B$이어야 한다.

이 범주에서, $(k,{𝔪}_k=(0),{\mathrm{id}}_k)$는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 $A$, $B$의 곱 $A{\times }_{\mathrm{LocArt}(k)}B$는 곱집합과 다르며, 구체적으로

$(A,{𝔪}_A,i_A){\times }_{\mathrm{LocArt}(k)}(B,{𝔪}_B,i_B)=\{(a,b)\in A{\times }_{\mathrm{Set}}B:i_A^{-1}(a+{𝔪}_A)=i_B^{-1}(b+{𝔪}_B)\}$

이다. (여기서 ${\times }_{\mathrm{Set}}$은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 $A{\times }_{\mathrm{CRing}}B$의 부분환으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상 $A,B,C$ 및 사상 $A\stackrel{f}{\to }C\stackrel{g}{\leftarrow }B$이 주어졌을 때, 올곱

$A{\times }_{C}B=\{(a,b)\in A{\times }_{\mathrm{Set}}B:f(a)=g(b)\}$

이 존재한다.틀:Rp

이 범주에서, 대상 $A=k[x]/(x^2)$을 생각하자. 이 경우,

$A\times A\cong k[x,y]/(x^2,y^2,xy)$

이다. 표준적인 환 준동형

$A\times A\to A$

$(a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)$

을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

작은 농화

두 국소 아르틴 가환환

$(A,𝔪)$

$(A^{\prime },{𝔪}^{\prime })$ 사이의 환 준동형

$f:A\to A^{\prime }$

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, 틀:Llang)라고 한다.

• 전사 함수이다.
• $\ker f$는 $A^{\prime }$의 주 아이디얼이다.
• $(\ker f){𝔪}^{\prime }=0$이다.

이에 따라, $\ker f$는 1차원 $A/𝔪$-벡터 공간이다. 예를 들어, 체 $k$ 및 양의 정수 $n$에 대하여

$k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^n)$

은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

변형 함자

체 $k$가 주어졌을 때, $\mathrm{LocArt}(k)$에서 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$로 가는 함자

$F:\mathrm{LocArt}(k)\to \mathrm{Set}$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, $\mathrm{LocArt}(k)$ 속의 두 환 준동형 $B\to A\leftarrow C$에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수

$g:F(B{\times }_{A}C)\to F(B){\times }_{F(A)}F(C)$

가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.

• (H0) 집합 $F(k)$는 한원소 집합이다.
  • 여기서 $F(k)$의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
• (H1) 만약 $C\to A$가 작은 농화라면, $g$가 전사 함수이다.
• (H2) 만약 $A=k$이며, $C=k[x]/(x^2)$라면, $g$가 전단사 함수이다.
• (H4) 만약 $C\to A$가 작은 농화이며 $B\to A$가 동형 사상이라면, $g$가 전단사 함수이다.

(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 $F$를 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 틀:Llang라고 한다.)

성질

접공간

변형 함자 $F$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 $F(k[x]/(x^2))$를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 $k$-벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

$\alpha v=F({\sigma }_{\alpha })v\mathrm{\forall }\alpha \in k,v\in F(k[x]/(x^2))$

$v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)$

여기서

${\sigma }_{\alpha }:k[x]/(x^2)\to k[x]/(x^2)$

${\sigma }_{\alpha }:x\mapsto \alpha x$

는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,

$g:F(k[x]/(x^2)\times k[x]/(x^2))\to F(k[x]/(x^2))\times F(k[x]/(x^2))$

는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,

$\mu :k[x]/(x^2)\times k[x]/(x^2)\to k[x]/(x^2)$

는 $k[x]/(x^2)$ 위의 군 대상 구조이다.

이 경우, 벡터 공간 $F(k[x]/(x^2))$를 변형 함자 $F$의 접공간(接空間, 틀:Llang)이라고 한다.

표현 가능성

변형 함자 $F:\mathrm{LocArt}(k)\to \mathrm{Set}$가 주어졌다고 하자. $\mathrm{ComplLocNoeth}(k)$가 $k$-대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 $k$-대수 $(A,𝔪)$에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

$\hat{F}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underleftarrow{\lim }}F(A/{𝔪}^n)$

여기서 유한한 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $A/{𝔪}^n$이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자

$\hat{F}:\mathrm{ComplLocNoeth}(k)\to \mathrm{Set}$

를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\hat{F}$가 표현 가능 함자이다.
• (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 $k$-벡터 공간이다.

예

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 매끄러운 대수다양체 $X_0$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

• 국소 아르틴 $k$-대수 $A$
• 스킴 $X_A$
• 평탄 사상 $X_A\to \mathrm{Spec}A$
• 스킴 사상 $X_0\to X$

이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.

• 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.

  $\begin{array}{ccc}{X}_0& \to & X_A\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Spec}k& \to & \mathrm{Spec}A\end{array}$

• 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 $X_0\to X_A{\times }_{\mathrm{Spec}A}\mathrm{Spec}k$는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 $X_0$이다.)

그렇다면, $F(A)$가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, $F$는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은

${\mathrm{H}}^1(X_0,\mathrm{T}{X}_0)$

이다.

역사

변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(틀:Llang)가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
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