모듈러 군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 모듈러 군(틀:Llang) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환의 군이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 $S$, $T$로 주어진다. 기호는 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 또는 $\mathrm{\Gamma }$.

정의

모듈러 군 $\mathrm{\Gamma }$는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다.

$\mathrm{\Gamma }=⟨𝖲,𝖳|{𝖲}^2=(𝖲𝖳{)}^3=1⟩$

즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군의 자유곱이다.

$\mathrm{\Gamma }=\mathrm{Cyc}(2)\star \mathrm{Cyc}(3)$

성질

모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심은 자명군이다.

상반평면 위의 작용

모듈러 군은 상반평면 $ℍ=\{\tau \in ℂ:\mathrm{Im}\tau >0\}$에 유리 함수로 작용한다. 이 경우 생성원 $𝖲$, $𝖳$의 작용은 다음과 같다.

$𝖲:z\mapsto -1/z$

$𝖳:z\mapsto z+1$

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$. ($\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$)

이 경우 행렬 $+M,-M\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$의 작용이 같으므로, 이는 $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})/(-I)=\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})=\mathrm{\Gamma }$의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(틀:Llang)은 다음과 같다.

$\{z\in ℍ:|\mathrm{Re}(z)|\le 1/2,|z|\ge 1\}$

보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구

$\{\tau \in ℂ:\mathrm{Im}\tau \ge 0\}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}=ℍ\bigsqcup {\mathbb{P}}_{ℝ}^1$

위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선 ${\mathbb{P}}_{ℝ}^1=ℝ\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$ 위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다.

• $ℍ$ (허수 성분이 양수인 복소수)
• $ℝ\setminus \overline{\mathbb{Q}}$ (초월수)
• $\overline{\mathbb{Q}}\cap ℝ\setminus \mathbb{Q}$ (대수적 무리수)
• $\mathbb{Q}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$ (유리수 및 무한대)

유리수체 위의 작용

모듈러 군은 유리수 사영 직선 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{Q}}^1=\mathbb{Q}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$ 위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자.

$X=\{(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2:\gcd \{p,q\}=1,pq\ne 0\}$

그렇다면, 그 위에 $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \frac{p}{q}=\frac{ap+bq}{cp+dq}(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{Z}))$

이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉, $ad-bc=1$다. 따라서, $\gcd \{p,q\}=1$일 때

$\gcd \{ap+bq,cp+dq\}=1$

이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의 $(p,q),(p^{\prime },q^{\prime })\in X$에 대하여, 항상 $M\cdot (p,q)=(p^{\prime },q^{\prime })$인 $M\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$이 존재한다.

이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자.

$X\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{Q}}^1=\mathbb{Q}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$

$(p,q)\mapsto \frac{p}{q}(q\ne 0)$

$(\pm 1,0)\mapsto \mathrm{\infty }$

즉, $(p,q)$를 약분 불가능 분수 $p/q$로 간주하자. 물론 $p/q=(-p)/(-q)$이므로, 이는 $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$의 몫군 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다.

이 작용 아래 $𝖲$와 $𝖳$의 작용은 다음과 같다.

$𝖲\cdot \frac{p}{q}=-\frac{q}{p}$

$𝖳\cdot \frac{p}{q}=\frac{p+q}{q}=\frac{p}{q}+1$

이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.

꼬임군과의 관계

모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군 $\mathrm{Braid}(3)$이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })& \hookrightarrow & \mathrm{Braid}(3)& \twoheadrightarrow & \mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})\\ \Vert & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })& \hookrightarrow & \overline{\mathrm{SL}(2;ℝ)}& \twoheadrightarrow & \mathrm{PSL}(2;ℝ)\end{array}$

여기서 $\overline{\mathrm{SL}(2;ℝ)}$는 2차원 실수 특수선형군의 범피복군이며, $\mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })$는 무한 순환군(정수의 덧셈군)이다.

합동 부분군

모듈러 군은 합동 부분군(틀:Llang)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된) $\mathrm{\Gamma }(N)$을 부분군으로 가지는 $\mathrm{\Gamma }$의 부분군 $\mathrm{\Gamma }(N)\subset G\subset \mathrm{\Gamma }(1)$이다. 이 경우, 이러한 최소 $N$을 합동 부분군 $G$의 준위(틀:Llang, 틀:Llang)라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 $\mathrm{\Gamma }(N)$, ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$, ${\mathrm{\Gamma }}_1(N)$이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

$\mathrm{\Gamma }(N)\subset {\mathrm{\Gamma }}_1(N)\subset {\mathrm{\Gamma }}_0(N)$

모듈러 군 Γ(N)

모듈러 군 $\mathrm{\Gamma }$는 주합동 부분군(主合同部分群, 틀:Llang)이라는 중요한 부분군들을 가진다. $N\ge 2$가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 $N$에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\mathrm{\Gamma }=\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})\to \mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$

이 군 준동형의 핵을 레벨 N의 주합동 부분군 $\mathrm{\Gamma }(N)$이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

$1\to \mathrm{\Gamma }(N)\hookrightarrow \mathrm{\Gamma }\twoheadrightarrow \mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\to 1$

구체적으로, $\mathrm{\Gamma }(N)$은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

에 대하여,

$a\equiv d\equiv \pm 1(\mathrm{mod}N)$

$b\equiv c\equiv 0(\mathrm{mod}N)$

특히, $\mathrm{\Gamma }(2)=\mathrm{\Lambda }$는 Λ 모듈러 군(틀:Llang)라고 불린다. 이 경우 $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z}/2)\cong \mathrm{Sym}(3)$은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, $\mathrm{\Lambda }$는 지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ₁(N)

모듈러 군 Γ₁(N)은 $\mathrm{\Gamma }$의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

에 대하여,

$a\equiv d\cong 1$

$c\equiv 0(\mathrm{mod}N)$

모듈러 군 Γ₀(N)

모듈러 군 Γ₀(N)은 $\mathrm{\Gamma }$의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

에 대하여,

$c\equiv 0(\mathrm{mod}N)$

즉, 위와 같이 $\mathrm{\Gamma }\to \mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$와 같은 군 준동형에서, 상이 상삼각행렬인 원소들이다. $\mathrm{\Gamma }(N)$은 ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$의 부분군이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:수학노트

같이 보기

• 푹스 군
• 모듈러 형식
• 2차원 실수 특수선형군
• 뫼비우스 변환