다발 제르브

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 다발 제르브(틀:Llang)는 선다발을 일반화시킨 개념이다.

정의

U(1) 주다발은 다음과 같이 간주될 수 있다.

• U(1) 주다발은 (정수 계수) 2차 코호몰로지류이다. (즉, 주다발은 그 천 특성류에 의하여 분류된다.)
• U(1) 주다발은 어떤 열린 덮개에 대하여, 각 조각 위에 주어진 $\mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$ 인자들로 구성된다. 이 경우, 각 $\mathrm{U}(1)$들은 전이 함수들로 짜깁기되며, 이들은 공사슬 조건을 만족시켜야 한다.
• U(1) 주다발은 주다발의 일종이다. 즉, $\mathrm{U}(1)$ 구조를 갖는 전사 연속 함수이다.

이 세 정의들을 각각 다음과 같이 일반화시킬 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

각 정의에서, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 자연수 $p\in \mathbb{N}$.

그렇다면, $M$ 위의 $(p-2)$-다발 제르브의 개념을 정의할 수 있다. 0-다발 제르브는 U(1) 선다발과 같다.

코호몰로지류를 통한 정의

$M$ 위의 $(p-2)$-다발 제르브는 (정수 계수) $p$차 코호몰로지 군의 원소

$\alpha \in {\mathrm{H}}^p(M;\mathbb{Z})$

이다.

열린 덮개를 통한 정의

$M$ 위의 $(p-2)$차 히친-채터지 제르브(틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp

• $M$의 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$. 여기서 $U_{ijk\cdots }=U_i\cap U_j\cap U_k\cap \cdots$로 표기하자.
• 모든 $\overrightarrow{ı}=i_1,i_2,\dots ,i_p\in I$에 대하여, 전이 함수(틀:Llang) ${\varphi }_{\overrightarrow{ı}}:U_{\overrightarrow{ı}}\to \mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$

이들은 다음 두 조건을 만족하여야 한다.

• 임의의 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(p)$에 대하여,

  ${\varphi }_{\sigma (\overrightarrow{ı})}=\{\begin{array}{cc}{\varphi }_{\overrightarrow{ı}}& (-{)}^{\sigma }=+1\\ {\varphi }_{\overrightarrow{ı}}^{-1}& (-{)}^{\sigma }=-1\end{array}$

• (공사슬 조건 틀:Llang) 임의의 $i_0,i_1,\dots ,i_p\in I$ 및 $x\in U_{i_0,\dots ,i_p}$에 대하여,

  $1={\varphi }_{i_0\dots i_{p-1}}(x)\cdot {\varphi }_{i_1\dots i_p}(x)\cdot \cdots \cdot {\varphi }_{i_p{i}_1\dots i_{p-2}}(x)$

이 정의에서, $p=2$을 잡으면 U(1) 선다발의 정의를 얻는다. 즉, 매끄러운 다양체 $M$위의 U(1) 선다발은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

• $M$의 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$
• 모든 $i,j\in I$에 대하여, 전이 함수 ${\varphi }_{ij}:U_{ij}\to U(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 $i,j,k\in I$에 대하여,

• ${\varphi }_{ji}={\varphi }_{ij}^{-1}$
• (공사슬 조건) ${\varphi }_{ij}{\varphi }_{jk}{\varphi }_{ki}{|}_{U_{ijk}}=1$

물론, 선다발의 동치를 적절히 정의하여야 한다.

위 정의는 나이절 히친과 데이비드 소미트라 채터지(틀:Llang, 틀:Llang)가 사용한 정의다. 마이클 머리가 사용한 정의는 더 일반적이며, 히친이 정의한 제르브는 머리가 정의한 국소 다발 제르브(틀:Llang)에 대응한다.

다발을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 다발 제르브는 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp

• 전사 함수 $E\twoheadrightarrow M$
• U(1) 주다발 $L\twoheadrightarrow E{\times }_{M}E$.
• U(1) 주다발의 동형 사상 $\mu :{\pi }_{12}^{*}L\otimes {\pi }_{23}^{*}L\to {\pi }_{13}^{*}L$. 여기서 ${\pi }_{12},{\pi }_{23},{\pi }_{13}:E{\times }_{M}E{\times }_{M}E\to E{\times }_{M}E$는 성분별 사영 사상이다.

$\begin{array}{c}E{\times }_{M}E{\times }_{M}E\\ {\pi }_{12}\downarrow {\pi }_{23}\downarrow {\pi }_{23}\downarrow {\pi }_{13}\\ E{\times }_{M}E\\ {\pi }_1\downarrow \downarrow {\pi }_2\\ E\\ \downarrow \\ M\end{array}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) $\mu \circ {\mu }_{123}=\mu \circ {\mu }_{234}$. 여기서 ${\mu }_{123},{\mu }_{234}:E{\times }_{M}E{\times }_{M}E{\times }_{M}E\to E{\times }_{M}E{\times }_{M}E$는 (1,2,3) 또는 (2,3,4)번째 성분에 $\mu$를 작용시킨 것이다.

접속

U(1) 주다발을 나타내는 0차 히친-채터지 제르브 $(U_i,{\varphi }_{ij}{)}_{i,j\in I}$ 위의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $A_i\in {\mathrm{\Omega }}^1(U_i;ℝ)$
• ${\alpha }_{ij}\in {\mathrm{\Omega }}^0(U_{ij};ℝ)$

이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

$A_j(x)-A_i(x)=-\mathrm{i}\mathrm{d}\ln {\varphi }_{ij}(x)(x\in U_{ij})$

이 경우, $\mathrm{d}{A}_i$를 이어붙여 $F=\mathrm{d}{A}_i$를 정의할 수 있으며, $[F]/2\pi$는 U(1) 주다발의 천 특성류와 같다.

$[F]/2\pi ={\mathrm{c}}_1(L)$

마찬가지로, 1차 히친-채터지 제르브 $(U_i,{\varphi }_{ijk}{)}_{i,j,k\in I}$위의 접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $B_i\in {\mathrm{\Omega }}^2(U_i;ℝ)$
• $A_{ij}\in {\mathrm{\Omega }}^1(U_{ij};ℝ)$

이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.틀:Rp

$B_j(x)-B_i(x)=\mathrm{d}{A}_{ij}(x)(x\in U_{ij})$

$A_{ij}(x)+A_{jk}(x)+A_{ki}(x)=-\mathrm{i}\mathrm{d}\ln {\varphi }_{ijk}(x)(x\in U_{ijk})$

이 경우, $\mathrm{d}{A}_i$들을 이어붙여

$F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;ℝ)$

$F(x)=\mathrm{d}{A}_i(x)(x\in U_i)$

를 정의할 수 있으며, 또한 그 코호몰로지류 $[F]/2\mathrm{\pi }\in {\mathrm{H}}^3(M;ℝ)$가 정수 계수인 것을 보일 수 있다.

보다 일반적으로, $(p-2)$차 히친-채터지 제르브의 경우, 각 $U_i$ 위에는 $(p-1)$차 히친-채터지 제르브의 접속이 주어져 있다. $-1$차 히친-채터지 제르브의 접속 구조는 전이 함수 ${\varphi }_i:U_i\to \mathrm{U}(1)$의 자연 로그 $-\mathrm{i}\ln {\varphi }_i$이다.

예

0-제르브

매끄러운 다양체 $M$ 위의 0-다발 제르브는 단순히 U(1) 주다발이다. 이 경우 2차 정수 코호몰로지와의 대응 사상은 1차 천 특성류에 의해 주어진다.

−1-제르브

(−1)-다발 제르브는 함수 $M\to {𝕊}^1$들의 호모토피류 $[f]\in [M,S^1]$이다.틀:Rp ${𝕊}^1$은 이산군 $\mathbb{Z}$의 분류 공간이므로, 이는 $\mathbb{Z}$ 주다발과 대응한다.

즉, 구체적으로 이는 각 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$에 대하여, 임의의 두 $i,j\in I$에 대하여 “전이 함수”인 정수

$n_{ij}\in \mathbb{Z}$

에 의하여 명시되며, 이는

$n_{ji}=-n_{ij}$

$n_{ij}+n_{jk}+n_{ki}=0$

을 만족시켜야 한다.

또한, $p=1$을 잡으면

• $M$의 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$
• 전이 함수 ${\varphi }_i:U_i\to \mathrm{U}(1)$
• (공사슬 조건) 임의의 $i,j\in I$ 및 $x\in U_i\cap U_j$에 대하여,

  $1={\varphi }_i(x){\varphi }_j(x)$

즉, 만약 $i=j$일 경우 ${\varphi }_i=1$이 된다. 이에 따라,

매끄러운 다양체 $M$ 위:

• 전사 함수 $E\twoheadrightarrow M$
• U(1) 주다발 $L\twoheadrightarrow \bullet$
• U(1) 주다발의 동형 사상 $\mu :{\pi }_{12}^{*}L\otimes {\pi }_{23}^{*}\to {\pi }_{13}^{*}L$. 여기서 ${\pi }_{12},{\pi }_{23},{\pi }_{13}:\bullet \to ??$는 성분별 사영 사상이다.

−2-제르브

(−2)-다발 제르브는 연속 함수 $M\to \mathbb{Z}$이다.틀:Rp

리 군 위의 제르브

콤팩트 연결 단일 연결 단순 리 군 $G$ 위에는 자연스러운 1-제르브가 정의되어 있다. 이 경우 항상 $H^3(G)\cong \mathbb{Z}$이고, 이 대응 사상을 디미에-두아디 사상(틀:Llang)이라고 한다. 이러한 리 군 $G$는 디스미에-두아디 사상이 1인 코호몰로지류 $B_0\in H^3(G)$에 대응하는 다발 제르브를 갖춘다. 3차 코호몰로지류로서, 이는 그 리 대수 $𝔤$의 구조 상수(structure constant)

$f:{\mathrm{\Lambda }}^3𝔤$

의 드람 코호몰로지에 의하여 주어진다. 이러한 1-제르브는 베스-추미노-위튼 모형을 다룰 때 등장하며, 끈 이론의 캘브-라몽 장에 해당한다.

3차원 초구 위의 제르브

구를 남반구와 북반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분에 정의되는 전이 함수

${𝕊}^1\times (-ϵ,ϵ)\to \mathrm{U}(1)$

를 통해 구 위의 U(1) 주다발을 정의할 수 있다. 이러한 전이 함수는 정수인 감음수로 분류되며, 이 정수는 U(1) 주다발의 (1차) 천 특성류(의 적분)에 해당한다 (${\mathrm{H}}^2({𝕊}^2)\cong \mathbb{Z}$).

마찬가지로, 3차원 초구를 북반구와 남반구에 해당하는 열린 덮개로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분 위에 정의되는 전이 U(1) 주다발

$\mathrm{U}(1)\hookrightarrow {𝕊}^2\times (-ϵ,ϵ)$

을 통해 3차원 초구 위의 다발 제르브를 정의할 수 있다. 이러한 전이 U(1) 주다발은 천 특성류의 적분인 정수로 분류되며, 이 정수는 다발 제르브의 디스미에-두아티 코호몰로지류에 해당한다 (${\mathrm{H}}^3({𝕊}^3)\cong \mathbb{Z}$).틀:Rp

응용

제르브는 미분형식 전기역학을 다룰 때 등장한다. 1차 미분형식 전기역학인 양-밀스 이론(맥스웰 방정식)을 다룰 때 주다발을 사용하는 것처럼, 고차 미분형식 전기역학을 다룰 때는 제르브를 사용하게 된다. 즉, 게이지장은 제르브의 접속을 이루고, 게이지 장세기는 제르브 접속의 곡률이다.

특히, 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장은 제르브로 나타내어진다.

역사

제르브의 일반적인 개념은 알렉산더 그로텐디크의 아이디어들을 발전시켜 장 지로(틀:Llang, 1936~2007)가 도입하였다. 지로가 지은 이름 "틀:Llang"는 짚단을 뜻한다. 이후 장뤼크 브릴린스키(틀:Llang, 1951~)가 제르브를 더 기하학적인 기법으로 정의하였다. 다발 제르브는 마이클 머리(틀:Llang)가 도입하였다.

같이 보기

• 제르브
• 오비폴드

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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