3차원 초구

기하학에서 3차원 초구(三次元超球, 틀:Llang, 틀:Lang)는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 리만 다양체이다. 그 위에는 리 군 SU(2)의 구조를 줄 수 있다.

정의

3차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

${𝕊}^3\cong \mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Sp}(1)$

${𝕊}^3\cong \mathrm{SO}(4)/\mathrm{SO}(3)$

또한, ${𝕊}^3$는 노름 1의 사원수의 공간으로 여길 수 있다.

${𝕊}^3=\{x\in ℍ:\Vert x\Vert =1\}$

리만 구 ${𝕊}^2\cong {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ 위의 정칙 선다발 $𝒪(1)$에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 ${𝕊}^3$와 동형이다. 이는 호프 올다발

${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^2$

을 정의한다.

성질

좌표계

3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다.

구면 좌표계

3차원 초구 위에는 구면 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 $(\psi ,\theta ,\varphi )$에 대하여

$\psi \in [0,\pi ]$

$\theta \in [0,\pi ]$

$\varphi \in ℝ/2\pi \mathbb{Z}$

이며, 매장 ${𝕊}^3\hookrightarrow {ℝ}^4$은 다음과 같다.

$(\psi ,\theta ,\varphi )\mapsto (\cos \psi ,\sin \psi \cos \theta ,\sin \psi \sin \theta \cos \varphi ,\sin \psi \sin \theta \sin \varphi )$

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{\psi }^2+{\sin }^2\psi (\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)$

부피 형식은 다음과 같다.

$\omega ={\sin }^2\psi \sin \theta \mathrm{d}\psi \wedge \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi$

호프 좌표계

3차원 초구 위의 호프 좌표계(Hopf座標系, 틀:Llang) $(\eta ,\xi ,{\xi }^{\prime })$는 다음과 같다.틀:Rp

$\xi ,{\xi }^{\prime }\in ℝ/(2\pi \mathbb{Z})$

$\eta \in [0,\pi /2]$

매장 ${𝕊}^3\hookrightarrow {ℂ}^2\cong {ℝ}^4$은 다음과 같다.

$(\eta ,\xi ,{\xi }^{\prime })\mapsto (\cos \eta \exp (\mathrm{i}\xi ),\sin \eta \exp (\mathrm{i}{\xi }^{\prime }))$

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{\eta }^2+{\cos }^2\eta \mathrm{d}{\xi }^2+{\sin }^2\eta \mathrm{d}{{\xi }^{\prime }}^2$

부피 형식은 다음과 같다.

$\omega =\sin \eta \cos \eta \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d}\xi \wedge \mathrm{d}{\xi }^{\prime }$

이 좌표계에서, 호프 올다발은 다음과 같다.

${𝕊}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^2$

$(\eta ,\xi ,{\xi }^{\prime })\mapsto (2\eta ,\xi -{\xi }^{\prime })$

여기서 ${𝕊}^2$ 위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉,

$z=\exp (\mathrm{i}\xi )\sin \eta$

$z^{\prime }=\exp (\mathrm{i}{\xi }^{\prime })\cos \eta$

라고 적으면,

$\cos (2\eta )=|z{|}^2-|z^{\prime }|$

$\sin (2\eta )\exp (\mathrm{i}(\xi -{\xi }^{\prime }))=2z\overline{z^{\prime }}$

이므로

$(z,z^{\prime })\mapsto (|z{|}^2-|z^{\prime }{|}^2,2z\overline{z^{\prime }})$

가 되며,

$(|z{|}^2-|z^{\prime }{|}^2{)}^2+|2z\overline{z^{\prime }}{|}^2=(|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2{)}^2=1$

이 된다.

군의 작용

${𝕊}^3$ 위에는 리 군 $\mathrm{O}(4)$가 작용한다. 그 가운데 $\mathrm{SO}(4)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)/\{(1,1),(-1,-1)\}$은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.

호프 올다발로 인하여, ${𝕊}^3$는 ${𝕊}^2$ 위의 U(1) 주다발을 이루며, 이는 $\mathrm{O}(3)\times \mathrm{U}(1)$의 작용을 정의한다. 이는 $\mathrm{O}(4)$의 부분군이다.

연속 함수

리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 매끄러운 함수

${𝕊}^3\times {𝕊}^3\to {𝕊}^3$

가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다.

미분 형식

호프 올다발에 의하여, ${𝕊}^2$의 부피 형식을 ${𝕊}^3$에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 완전 미분 형식이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다.

같이 보기

• 단위원
• 정팔포체
• 파울리 행렬
• 클리포드 원환면

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab