기댓값

틀:위키데이터 속성 추적 틀:확률론 확률론에서 확률 변수의 기댓값(期待값, 틀:Llang,$\mathrm{E}$)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다. 이 경우 '모 평균'으로 다룰수있다.

모 평균(population mean) μ는 모 집단의 평균이다. 모두 더한 후 전체 데이터 수 n으로 나눈다. 확률 변수의 기댓값이다.

정의

확률공간 $(P,𝒫,\mu )$ 위의 실수값 확률 변수 $X:P\to ℝ$의 기댓값 $\mathrm{E}[X]$은 그 르베그 적분이다.

$\mathrm{E}[X]=\underset{P}{\int }Xd\mu$

예를 들어, 이산 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

$\mathrm{E}[X]=\sum _i{p}_i{x}_i$

여기서 $x_i$는 가능한 모든 사건, $p(x_i)$는 $x_i$ 사건이 일어날 확률을 의미한다. 연속 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

$\mathrm{E}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x$

이 때 $f(x)$는 확률밀도함수를 나타낸다.

성질

선형성

기댓값은 선형 연산자이다. 즉 다음이 성립한다.

$\mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)$ (가산성)

$\mathrm{E}(cX)=c\mathrm{E}(X)$ (동차성)

예

예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기댓값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인

$1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3.5$

가 된다.

같이 보기

• 기대효용가설
• 표준오차

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드