코시-슈바르츠 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz不等式, 틀:Llang) 또는 코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, 틀:Llang)은 내적 공간 위에 성립하는 부등식이다. 이 부등식은 무한 급수 · 함수 공간 · 확률론의 분산과 공분산 등에 널리 응용된다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $𝕂$-벡터 공간 $V$
• $V$ 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 $⟨,⟩$ ($𝕂=ℝ$일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)

  $⟨w,\alpha u+v⟩=\alpha ⟨w,u⟩+⟨w,v⟩=\overline{⟨\alpha u+v,w⟩}\mathrm{\forall }\alpha \in 𝕂,u,v\in V$

그렇다면, 코시-슈바르츠 부등식에 의하면 다음이 성립한다.

$|⟨u,v⟩{|}^2\le ⟨u,u⟩⟨v,v⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$

증명:

만약 $⟨u,u⟩=⟨v,v⟩=0$이며 $𝕂=ℝ$일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

$0\le \frac{1}{2}⟨u+v,u+v⟩=⟨u,v⟩=-\frac{1}{2}⟨u-v,u-v⟩\le 0$

이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 $⟨u,u⟩=⟨v,v⟩=0$이며 $𝕂=ℂ$일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라

$0\le \frac{1}{2}⟨u+v,u+v⟩=\mathrm{Re}⟨u,v⟩=-\frac{1}{2}⟨u-v,u-v⟩\le 0$

$0\le \frac{1}{2}⟨u-iv,u-iv⟩=\mathrm{Im}⟨u,v⟩=-\frac{1}{2}⟨u+iv,u+iv⟩\le 0$

이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 $⟨u,u⟩=⟨v,v⟩=0$은 $u=v=0$을 함의하며 이는 자명하게 $⟨u,v⟩=0$을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, $⟨u,u⟩$ 또는 $⟨v,v⟩$ 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 $⟨v,v⟩>0$라고 하자.

양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 $\lambda \in 𝕂$에 대하여

$0\le ⟨u-\lambda v,u-\lambda v⟩=⟨u,u⟩+|\lambda {|}^2⟨v,v⟩-\lambda ⟨u,v⟩-\overline{\lambda }⟨v,u⟩$

이다. 이제,

$\lambda =\frac{⟨v,u⟩}{⟨v,v⟩}$

를 대입하면 다음과 같다.

$0\le ⟨u,u⟩-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{⟨v,v⟩}$

이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.

$|⟨u,v⟩{|}^2\le ⟨u,u⟩\cdot ⟨v,v⟩$

또한, 만약 $⟨,⟩$가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 $u$와 $v$ 일차 종속인 경우이다.

부정부호의 경우

일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 실수 벡터 공간 $V$
• $V$ 위의 쌍선형 형식 $⟨,⟩$. 또한, $\{v\in V:⟨v,v⟩<0\}\cup \{0\}$은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)

$\mathrm{\forall }u,v\in V:\min \{⟨u,u⟩,⟨v,v⟩\}\le 0⟹|⟨u,v⟩{|}^2\ge ⟨u,u⟩⟨v,v⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$

증명:

만약 $\max \{⟨u,u⟩,⟨v,v⟩\}\ge 0$이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 $⟨u,u⟩$와 $⟨v,v$ 둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 $u$와 $v$가 선형 종속이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 선형 독립이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 $\mathrm{Span}\{u,v\}$는 $⟨w,w⟩\ge 0$인 원소 $w\in \mathrm{Span}\{u,v\}\setminus \{0\}$를 포함한다. 편의상 이것이 $w=u+{\lambda }_{0}v$라고 가정하자.

실수 $\lambda \in ℝ$에 대하여, 2차 다항식

$p(\lambda )=⟨u+\lambda v⟩={\lambda }^2⟨v,v⟩+2\lambda ⟨u,v⟩+⟨u,u⟩$

를 생각하자. 그렇다면 이는 $\lambda =0$에서 양이 아닌 실수이지만, $\lambda ={\lambda }_0$에서는 $p(\lambda )$가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, $p(\lambda )=0$는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 필요 충분 조건은 판별식

$D=⟨u,v{⟩}^2-⟨u,u⟩⟨v,v⟩$

이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서

$⟨u,v{⟩}^2\ge ⟨u,u⟩⟨v,v⟩$

이다.

또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 실수 벡터 공간 $V$
• $V$ 위의 쌍선형 형식 $⟨,⟩$. 또한, $\{v\in V:⟨v,v⟩<0\}\cup \{0\}$은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, $\{v\in V:⟨v,v⟩>0\}\cup \{0\}$ 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\forall }u,v\in V:|⟨u,v⟩{|}^2\ge ⟨u,u⟩⟨v,v⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$

증명:

임의의 두 벡터 $u,v\in V$에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다.

• 만약 $\min \{⟨u,u⟩,⟨v,v⟩\}\le 0$일 때: 위의 정리를 사용한다.
• 만약 $\max \{⟨u,u⟩,⟨v,v⟩\}\ge 0$일 때: 위의 정리를 $(V,-⟨,⟩)$에 사용한다.

예

낮은 차원

$V={𝕂}^n$일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다.

${|{\overline{a}}_1{b}_1+{\overline{a}}_2{b}_2+\cdots +{\overline{a}}_n{b}_n|}^2\le (|a_1{|}^2+|a_2{|}^2+\cdots +|a_n{|}^2)(|b_1{|}^2+|b_2{|}^2+\cdots +|b_n{|}^2)\mathrm{\forall }{a}_i,b_i\in 𝕂$

특히, $n=2$인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.

$|\overline{a}c+\overline{b}d{|}^2\le (|a{|}^2+|b{|}^2)(|c{|}^2+|d{|}^2)\mathrm{\forall }a,b,c,d\in 𝕂$

특히, 2차원 민코프스키 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

$(ac-bd{)}^2\ge (a^2-b^2)(c^2-d^2)\mathrm{\forall }a,b,c,d\in ℝ$

르베그 공간

틀:본문 가측 공간 $X$ 위의 $p=2$ 르베그 공간 $V={\mathrm{L}}^2(X;𝕂)$은 $𝕂$-힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

${|\int \overline{f(x)}g(x)dx|}^2\le \int {|f(x)|}^{2}dx\cdot \int {|g(x)|}^{2}dx\mathrm{\forall }f,g\in {\mathrm{L}}^2(X;𝕂)$

이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.

C* 대수

틀:본문 C* 대수 $A$ 위의 상태

$f:A\to ℂ$

가 주어졌을 때,

$⟨a,b⟩=f(a^{*}b)\mathrm{\forall }a,b\in A$

는 $A$ 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

$|f(a^{*}b){|}^2\le f(a^{*}a)f(b^{*}b)\mathrm{\forall }a,b\in A$

역사

오귀스탱 루이 코시. 코시는 유한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.

빅토르 부냐콥스키. 부냐콥스키는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.

헤르만 아만두스 슈바르츠. 슈바르츠는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 독자적으로 재발견하였다.

1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(틀:Llang, 틀:Llang, 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.

1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”(틀:Llang)이라는 용어를 최초로 사용하였다.틀:Rp 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.

외부 링크

• 틀:Eom
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