확률 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:확률론 확률론에서 확률 공간(確率空間, 틀:Llang)은 전체 측도가 1인 측도 공간이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 측도는 확률을 정의한다.

정의

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$은 공간 전체의 측도가 1인 측도 공간이다.

$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })=1$

확률론에서는 측도론의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.

• 확률공간의 점들의 집합 $\mathrm{\Omega }$는 표본 공간이라고 한다.
• 확률공간의 가측 집합 $S\in ℱ$은 사건(틀:Llang)이라고 한다.
• 사건 $S\in ℱ$의 측도 $\mathrm{Pr}(S)$는 사건의 확률(틀:Llang)이라고 한다.

확률론의 용어를 사용한다면, 측도 공간의 각종 성질은 다음과 같다.

• 사건 $S\subset \mathrm{\Omega }$에 대하여, 그 여집합 $\mathrm{\Omega }\setminus S$ 역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
• 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
• 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.

예

확률 공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.

유한 확률 공간

유한 집합 $\mathrm{\Omega }$ 및 음이 아닌 실수 값의 함수 $p:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$을 부여하고, 또한

$\sum _{x\in \mathrm{\Omega }}p(x)=1$

이라고 하면, 다음과 같은 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),\mathrm{Pr})$을 정의할 수 있다.

• 표본 공간은 유한 집합 $\mathrm{\Omega }$이다.
• 사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 $𝒫(\mathrm{\Omega })$이다. 즉, 표본 공간의 모든 부분 집합이 사건을 이룬다.
• 사건 $S\subset \mathrm{\Omega }$의 확률은 다음과 같다.

$\mathrm{Pr}(S)=\sum _{x\in S}p(x)$

유클리드 공간의 부분 공간

측도 공간 $(X,ℱ,\mu )$에서, 측도가 양의 실수인 가측 집합

$\mathrm{\Omega }\in ℱ$

$0<\mu (\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty }$

이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ{|}_{\mathrm{\Omega }},\mathrm{Pr})$을 정의할 수 있다.

• 표본 공간은 $\mathrm{\Omega }$이다.
• 사건 시그마 대수는 $ℱ{|}_{\mathrm{\Omega }}=\{S\cap \mathrm{\Omega }|S\in ℱ\}$이다.
• 사건 $S\in ℱ{|}_{\mathrm{\Omega }}$의 확률은 다음과 같다.

$\mathrm{Pr}(S)=\mu (S)/\mu (\mathrm{\Omega })$

예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.

같이 보기

• 확률 변수

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드