베유 추측

틀:위키데이터 속성 추적 수론과 대수기하학에서 베유 추측(틀:Llang)은 유한체 위에 정의된 대수다양체의 점의 수에 대한 네 개의 정리들이다.

정의

유한체 $𝔽_{q}$ 위의 스킴 $X \to Spec 𝔽_{q}$ 가 매끄러운 사영 대수다양체이라고 하자. $X$ 의 국소 제타 함수는 다음과 같다.

ζ (X, s) = \exp (\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m} # (X / 𝔽_{q^{m}}) q^{- s m})

여기서 $# (X / 𝔽_{q^{m}})$ 은 $X \otimes_{Spec 𝔽_{q}} Spec 𝔽_{q^{2}}$ 의 닫힌 점의 수이다.

베유 추측에 따르면, 다음 네 명제들이 성립한다.^[1]틀:Rp

(유리성) $ζ (X, s)$ 는 $q^{- s}$ 에 대한 유리 함수이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
$\prod_{i = 0}^{2 n} P_{i} (q^{- s})^{(- 1)^{i + 1}} = \frac{P_{1} (T) \dots P_{2 n - 1} (T)}{P_{0} (T) \dots P_{2 n} (T)}$

$P_{i} (T) \in ℤ [T] \forall i \in {0, 1, \dots, 2 n}$

$P_{0} (T) = 1 - T$

$P_{2 n} (T) = 1 - q^{n} T$

$P_{i} (T) = \prod_{j = 1}^{\deg P_{i}} (1 - α_{i j} T), (α_{i j} \in ℂ)$
(함수 방정식) 어떤 정수 $E$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
$ζ (X, n - s) = \pm q^{\frac{n E}{2} - E s} ζ (X, s)$
(리만 가설) 모든 $1 \leq i \leq 2 n - 1$ 및 모든 $1 \leq j \leq \deg P_{i}$ 에 대하여, $| α_{i, j} | = q_{i} / 2$
(베티 수) 어떤 대수적 수체 $K \subset ℂ$ 의 대수적 정수환 $𝒪_{K}$ 의 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec 𝒪_{K}$ 가 $𝒪_{K} / 𝔭 ≅ 𝔽_{q}$ 를 만족시키며, 어떤 스킴 사상 $\tilde{X} \to Spec 𝒪_{K}$ 에 대하여, $\tilde{X} \otimes_{Spec 𝒪_{K}} Spec 𝔽_{q}$ 가 $X$ 와 $𝔽_{q}$ -스킴으로서 동형이라고 하자. 이 경우, $\deg_{i} P_{i} = b_{i} (\tilde{X} \otimes_{Spec 𝒪_{K}} Spec ℂ)$ 이다. 여기서 $b_{i}$ 는 복소수체 위의 대수다양체 $\tilde{X} \otimes_{Spec 𝒪_{K}} Spec ℂ$ 의 특이 코호몰로지에 대한 베티 수이다. 또한, $E$ 는 복소수체 위의 대수다양체의 특이 코호몰로지에 대한 오일러 지표이다.

앙드레 베유가 1949년에 추측하였다. 유리성 추측은 1960년에 버나드 모리스 드워크(틀:Llang)가 증명하였고, 함수 방정식은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 증명하였고, 리만 가설은 피에르 들리뉴가 1974년에 증명하였다. 이 공로로 들리뉴는 필즈상을 수상하였다.