군 스킴

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 군 스킴(群scheme, 틀:Llang, 틀:Llang)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.

정의

군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

군 대상을 통한 정의

스킴 $S$가 주어졌다고 하자. $S$ 위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주 $\mathrm{Sch}/S$ 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 $(G,m,e,i)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $G/S$는 $S$-스킴이다.
• $m:G{\times }_{S}G\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
• $e:S\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
• $i:G\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

함자를 통한 정의

스킴 $S$ 위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자

$G:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

이다.

• $\mathrm{Forget}\circ G:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$는 표현 가능 함자이다. 즉, $\mathrm{Forget}\circ G\cong {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}/S}(-,X)$가 되는 $S$-스킴 $X$가 존재한다.

여기서

$\mathrm{Forget}:\mathrm{Grp}\to \mathrm{Set}$

는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, $\mathrm{Sch}/S$ 속의 군 대상 $G$가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 $\mathrm{hom}(-,G)$는 둘째 정의에 부합한다.

성질

스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

$\mathrm{Sch}\to \mathrm{Top}$

를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 $K$에 대하여, $\mathrm{Spec}K$ 위의 군 스킴 $G$의 $K$-유리점의 집합 $G(K)$을 취할 수 있다. 이 경우,

$(G{\times }_{\mathrm{Spec}K}G)(K)=G(K){\times }_{\mathrm{Set}}G(K)$

이므로, 집합 $G(K)$ 위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체 $ℂ$ 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

예

곱셈 군 스킴

스킴 $S$ 위의 군 스킴 ${𝔾}_{\mathrm{m}}$은 스킴으로서 원점을 제거한 $S$-아핀 직선 ${𝔸}_S^1\setminus \{0\}$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${𝔾}_{\mathrm{m}}:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

${𝔾}_{\mathrm{m}}:(X,{𝒪}_X)\mapsto \mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X^{\times })$

여기서 $\mathrm{\Gamma }$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, ${𝒪}_X^{\times }$는 구조층 ${𝒪}_X$의 가역원군층이다. 특히, 만약 $S=\mathrm{Spec}R$가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 $R$계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

${𝔾}_{\mathrm{m}}\cong \mathrm{Spec}[x,x^{-1}]=\mathrm{Spec}R[x,y]/(xy-1)$

이 경우, 군 이항 연산

${𝔾}_{\mathrm{m}}{\times }_{\mathrm{Spec}R}{𝔾}_{\mathrm{m}}\to {𝔾}_{\mathrm{m}}$

은 다음과 같은 $R$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

$R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]{\star }_{R}R[z,z^{-1}]$

$x\mapsto yz$

마찬가지로, 항등원

$\mathrm{Spec}R\to {𝔾}_{\mathrm{m}}$

은 다음과 같은 $R$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

$R[x,x^{-1}]\to R$

$x\mapsto 1$

이는 로랑 다항식환 $R[x,x^{-1}]$의 호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴 $S$ 위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 틀:Llang) $\mathrm{GL}(n;S)$는 함자로서 다음과 같다.

$\mathrm{GL}(n;S):(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

$\mathrm{GL}(n;S):(X,{𝒪}_X)\mapsto \mathrm{Mat}(n;\mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X^{\times }))$

여기서 $\mathrm{Mat}(;)$는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 ${𝔾}_{\mathrm{m}}=\mathrm{GL}(1;S)$이다.

덧셈 군 스킴

스킴 $S$ 위의 군 스킴 ${𝔾}_{\mathrm{a}}$는 스킴으로서 $S$-아핀 직선 ${𝔸}_S^1=\mathrm{Spec}(S[x])$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${𝔾}_{\mathrm{a}}:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

${𝔾}_{\mathrm{a}}:(X,{𝒪}_X)\mapsto \mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X)$

여기서 $\mathrm{\Gamma }$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 $S=\mathrm{Spec}R$가 아핀 스킴이라면, ${𝔾}_{\mathrm{a}}={𝔸}_S^1=\mathrm{Spec}R[x]$이다. 이 경우, 군의 이항 연산

${𝔾}_{\mathrm{a}}{\times }_{\mathrm{Spec}R}{𝔾}_{\mathrm{a}}\to {𝔾}_{\mathrm{a}}$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

$R[x]\to R[y,z]=R[y]{\star }_{R}R[z]$

$x\mapsto y+z$

군의 항등원 사상

$\mathrm{Spec}R\to {𝔾}_{\mathrm{a}}$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

$R[x]\to R$

$x\mapsto 0$

1의 거듭제곱근 군 스킴

양의 정수 $n$에 대하여, 1의 $n$제곱근 군 스킴(틀:Llang) ${\mathbb{\mu }}_n$은 $n$제곱 사상 ${𝔾}_{\mathrm{m}}\to {𝔾}_{\mathrm{m}}$의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${\mathbb{\mu }}_n:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

${\mathbb{\mu }}_n:(X,{𝒪}_X)\to \{s\in \mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X):s^n=1_{\mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X)}\}$

특히, 만약 $S=\mathrm{Spec}R$가 아핀 스킴이라면, ${\mathbb{\mu }}_n=\mathrm{Spec}(R[x]/(x^n-1))$이다.

상수 군 스킴

군 $G$가 주어졌다고 하자. 스킴 $S$ 위의 상수 군 스킴(틀:Llang) $G_S$는 스킴으로서 분리합집합 $S^{\bigsqcup G}$이다 (즉, 위상 공간으로서 $G$에 이산 위상을 준다면 $G\times S$이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 $G$의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

$G_S:(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

$G_S:X\mapsto G^{\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(X)}$

여기서 $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}(X)$는 $X$의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히, $G$가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 $S/S$는 $S$ 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 $S$ 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

대각화 가능 군 스킴

아벨 군 $G$가 주어졌다고 하자. 스킴 $S$ 위의 대각화 가능 군 스킴(틀:Llang) $\mathrm{Diag}(G)$는 함자로서 다음과 같다.

$\mathrm{Diag}(G):(\mathrm{Sch}/S{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Grp}$

$\mathrm{Diag}(G):(X,{𝒪}_X)\mapsto {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(G,(\mathrm{\Gamma }(X,{𝒪}_X{)}^{\times })$

만약 $S=\mathrm{Spec}R$가 아핀 스킴이라면, $\mathrm{Diag}G=\mathrm{Spec}(R[G])$는 군환 $R[G]$의 스펙트럼이다.

아핀 군 스킴

가환환 $R$ 위의 가환 호프 대수 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 $\mathrm{Spec}H$는 표준적으로 $\mathrm{Spec}R$-군 스킴을 이룬다. 반대로, $\mathrm{Spec}R$ 위의 모든 아핀 군 스킴은 $R$ 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

군 스킴	호프 대수
곱 ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{op}}:\mathrm{Spec}H{\times }_R\mathrm{Spec}H=\mathrm{Spec}(H{\otimes }_{R}H)\to \mathrm{Spec}H$	쌍대곱 $\mathrm{\Delta }:H\to H{\otimes }_{R}H$
항등원 ${ϵ}^{\mathrm{op}}:\mathrm{Spec}R\to \mathrm{Spec}H$	쌍대항등원 $ϵ:H\to R$
역원 $S^{\mathrm{op}}:\mathrm{Spec}H\to \mathrm{Spec}H$	앤티포드 $S:H\to H$
$\mathrm{Spec}R$-스킴의 구조 사상 ${\eta }^{\mathrm{op}}\mathrm{Spec}H\to \mathrm{Spec}R$	항등원 $\eta :R\to H$
대각 사상 ${\mathrm{diag}}_{\mathrm{Spec}H/R}={\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{op}}:\mathrm{Spec}H\to \mathrm{Spec}H{\times }_R\mathrm{Spec}H=\mathrm{Spec}(H{\otimes }_{R}H)$	곱 $\mathrm{\nabla }:H{\otimes }_{R}H\to H$

같이 보기

• 안정점
• 기하 불변량 이론 몫
• 불변량 이론

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

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