안정점

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서, 안정점(安定點, 틀:Llang)은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 벡터 공간 $V$
• 가약 대수군 $G\le \mathrm{SL}(V)$

그렇다면, 점 $x\in V$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 안정점이라고 한다.

1. 군의 작용의 궤도 $G.x$의 차원이 $G$의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)
2. $G.x$가 $V$의 닫힌집합이다.

안정점의 집합을 $X^{\mathrm{s}}$라고 표기하자.

점 $x\in V$가 다음 조건을 만족시킨다면, 준안정점(틀:Llang)이라고 한다.

• 어떤 $k$차 $G$-불변 동차 다항식 $p$에 대하여 ($k\ge 1$), $p(x)\ne 0$이다.

준안정점의 집합을 $X^{\mathrm{ss}}$라고 표기하자.

$V$에 대한 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}(V)$의 점 $[x]\in \mathbb{P}(V)$의 경우, 그 점의 대표원 $x\in V$이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. $X$가 $\mathbb{P}(V)$ 속의, $G$의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

성질

사영 대수다양체 $X\subseteq {ℂ\mathrm{P}}^n=\mathrm{Proj}ℂ[x_0,x_1,\dots ,x_n]$를 정의하는 동차 아이디얼

$\Im \subseteq ℂ[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

을 생각하자. 그렇다면, $G$는 $ℂ[x_0,x_1,\dots ,x_n]/\Im$ 위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합

$(ℂ[x_0,x_1,\dots ,x_n]/\Im {)}^G$

을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 $X//G$라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\begin{array}{cccc}{X}^{\mathrm{s}}& \subseteq & X^{\mathrm{ss}}& \subseteq X\\ \downarrow & & \downarrow \\ X^{\mathrm{s}}/G& \subseteq & X//G\end{array}$

여기서, $X^{\mathrm{ss}}$와 $X^{\mathrm{s}}$는 $X$의 열린집합이며, 마찬가지로 $X^{\mathrm{s}}/G$는 $X//G$의 열린집합이다.

안정성의 수치 조건

$n$차원 복소수 벡터 공간 $V$의 복소수 사영 공간 $\mathrm{P}(V)$ 위에 $G\le \mathrm{SL}(V;ℂ)$가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

$\lambda :{ℂ}^{\times }\to G$

에 대하여, $V$를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

$V_i=\{v\in V:\lambda (t)v=t^{i}v\}$

$V=\underset{i\in \mathbb{Z}}{⨁}{V}_i$

(일부 $i$에 대하여 $V_i=0$일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

${\pi }_i:V\twoheadrightarrow V_i$

라고 하자.

그렇다면, 임의의 $v\in V$에 대하여

${\mu }_{\lambda }(v)=\min \{i\in \mathbb{Z}:{\pi }_i(v)\ne 0\}$

을 정의하자. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건(Hilber-Mumford數値條件, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 $v\in V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $\lambda :{ℂ}^{\times }\to G$에 대하여 ${\mu }_{\lambda }(v)<0$이다.
• $v$는 안정점이다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $\lambda :{ℂ}^{\times }\to G$에 대하여 ${\mu }_{\lambda }(v)\le 0$이다.
• $v$는 준안정점이다.

역사

1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(틀:Llang)이라는 이름으로 연구하였다. 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.

같이 보기

• 기하 불변량 이론 몫

외부 링크

• 틀:Nlab