교환자 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 틀:Llang)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의

군 $G$의 교환자 부분군 $G^{(1)}$은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

$[g_1,h_1][g_2,h_2][g_3,h_3]\dots [g_n,h_n]\in G^{(1)}\subset G$

$g_1,g_2,\dots ,g_n,h_1,h_2,\dots ,h_n\in G$

여기서

$[g,h]=g^{-1}{h}^{-1}gh$

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

유도열

군 $G$의 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 틀:Llang) $G^{(n)}$은 다음과 같이 정의된다.

$G^{(n+1)}=(G^{(n)}{)}^{(1)}$

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

$G=G^{(0)}▹G^{(1)}▹G^{(2)}▹\cdots$

이를 유도열(誘導列, 틀:Llang)이라고 한다.

유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.

• $G^{(0)}=G$
• 따름 순서수 $\alpha +1$에 대하여,

  $G^{(\alpha +1)}=(G^{(\alpha )}{)}^{(1)}$

• 극한 순서수 $\alpha$에 대하여,

  $G^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }{G}^{(\beta )}$

이를 초한 유도열(超限誘導列, 틀:Llang)이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.

• 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
• 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
• 어떤 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $G^{(n)}=1$인 군 $G$를 가해군이라고 한다.
• 어떤 순서수 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대하여 $G^{(\alpha )}=1$인 군 $G$를 준 아벨 군(틀:Llang)이라고 한다.

정의에 따라

아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군

임을 알 수 있다.

아벨화

군 $G$가 주어졌을 때, 교환자 부분군 $G^{(1)}$은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군

$G^{\mathrm{ab}}=G/G^{(1)}$

은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 틀:Llang)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 $\mathrm{Grp}$에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 $\mathrm{Ab}$로 가는 함자를 이룬다.

$(-{)}^{\mathrm{ab}}:\mathrm{Grp}\to \mathrm{Ab}$

아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자

$I:\mathrm{Ab}\to \mathrm{Grp}$

가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

$(-{)}^{\mathrm{ab}}⊣I$

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지

$G^{\mathrm{ab}}={\mathrm{H}}_1(G;\mathbb{Z})$

와 같다.

예

일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.

G	G(1)
대칭군 $S_n$	교대군 $A_n\subset S_n$
교대군 $A_4$	클라인 4원군 $(\mathbb{Z}/2{)}^2$
사원수군 $Q$	$\mathrm{Z}(Q)=\{\pm 1\}\cong \mathbb{Z}/2$
크기 8의 정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_4$	$\mathrm{Z}({\mathrm{Dih}}_4)\cong \mathbb{Z}/2$

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 $X$의 기본군 ${\pi }_1(X)$의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 ${\mathrm{H}}_1(X;\mathbb{Z})$이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.

같이 보기

• 멱영군

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom