교대군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 교대군(交代群, 틀:Llang)은 유한 집합의 원소들에 대한 짝순열들로 이루어진 유한군이다. $n$ 개의 원소에 대한 교대군의 기호는 $A_{n}$ 또는 $Alt (n)$ 이다.

정의

대칭군 $S_{n}$ 의 각 원소들은 순열의 홀짝성에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 군 준동형

p : S_{n} \to ℤ / 2 ℤ

을 이룬다. 교대군 $A_{n}$ 은 이 준동형의 핵이다.

A_{n} ≅ \ker p ◃ S_{n}

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1 \to A_{n} ↪ S_{n} ↠ ℤ / 2 ℤ \to 1

$n > 1$ 인 교대군 $A_{n}$ 은 $n! / 2$ 개의 원소를 가지며, $n < 3$ 인 경우 교대군은 자명군이다. $n > 1$ 인 교대군 $A_{n}$ 은 대칭군 $S_{n}$ 의 교환자 부분군이다.

교대군이 아벨 군일 필요충분조건은 $n \leq 3$ 이다. 단순군일 필요충분조건은 $n = 3$ 이거나 $n \geq 5$ 이다.

낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.