정이면체군

이 눈 결정의 대칭군은 정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_6$이다.

${\mathrm{Dih}}_8$은 정팔각형의 대칭군이다.

군론에서 정이면체군(正二面體群, 틀:Llang)은 정다각형의 대칭군인 유한군이다.

정의

$H$가 아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(틀:Llang) $\mathrm{Dih}(H)$는 다음과 같은 반직접곱이다.

$\mathrm{Dih}(H)\cong H{⋊}_{\varphi }(\mathbb{Z}/2)$

여기서 $\mathbb{Z}/2=\{0,1\}$는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 $\varphi :\mathbb{Z}/2\times H\to H$는 다음과 같다.

${\varphi }_0:h\mapsto h$

${\varphi }_1:h\mapsto -h$

정이면체군

${\mathrm{Dih}}_n=\mathrm{Dih}(\mathbb{Z}/n)$

은 순환군 $\mathbb{Z}/n$에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(틀:Llang)

${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{Dih}(\mathbb{Z})$

은 무한 순환군 $\mathbb{Z}$에 대한 일반화 정이면체군이다.

표시

정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_n$은 다음과 같은 표시를 갖는다.

${\mathrm{Dih}}_n\cong ⟨r,s|r^n=s^2=(rs{)}^2=1⟩$

정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_n$은 간혹 $D_n$이나 $D_{2n}$으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}$은 다음과 같은 표시를 갖는다.

${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}\cong ⟨r,s|s^2=(rs{)}^2=1⟩$

성질

일반화 정이면체군

일반적으로, 일반화 정이면체군 $\mathrm{Dih}(H)$의 크기는 $H$의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 $\mathrm{Dih}(H)=H⋊(\mathbb{Z}/2)$의 원소들은 모두 $(h,0)$ 또는 $(h,1)$의 꼴이다 ($h\in H$). 이 경우, $(h,0)$ 꼴의 원소들의 집합은 $H$와 동형인 $\mathrm{Dih}(H)$의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며, $(h,1)$ 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, $(h,1)\cdot (h,1)=(0,0)$이다.

$\mathrm{Dih}(H)$의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 $h\in H$에 대하여,

• $\{(h,0),(-h,0)\}$
• $\{(h+2k,0)|k\in H\}$

유한 정이면체군

평면에서, 정$n$각형의 대칭군은 ${\mathrm{Dih}}_n$이다. 여기서, 군의 표시에서 $r$는 (반시계방향으로) $2\pi /n$ 라디안 회전 대칭에, $s$는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_n$은 총 $2n$개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

$1,r,r^2,\dots ,r^{n-1},s,sr,s{r}^2,\dots ,s{r}^{n-1}$

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

군	다른 이름
${\mathrm{Dih}}_0$	자명군 0
${\mathrm{Dih}}_1$	2차 순환군 $\mathbb{Z}/2$
${\mathrm{Dih}}_2$	클라인 4원군 $\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$
${\mathrm{Dih}}_3$	대칭군 ${\mathrm{Sym}}_3$
${\mathrm{Dih}}_6$	${\mathrm{Dih}}_3\times (\mathbb{Z}/2)$

$n\ge 3$인 경우, ${\mathrm{Dih}}_n$은 아벨 군이 아니다.

만약 $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$라면,

${\mathrm{Dih}}_n\cong {\mathrm{Dih}}_{n/2}\times (\mathbb{Z}/2)$

이다.

${\mathrm{Dih}}_n$의 자기 동형군은 다음과 같다.

$\mathrm{Aut}({\mathrm{Dih}}_n)\cong \{\begin{array}{cc}1& n=0,1\\ {\mathrm{Sym}}_3& n=2\\ \mathbb{Z}/n⋊(\mathbb{Z}/n{)}^{\times }& n\ge 3\end{array}$

여기서 $(-{)}^{\times }$는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 $(\mathbb{Z}/n{)}^{\times }$와 $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n)$ 사이의 표준적인 동형이다. 특히, $n\ge 3$인 경우 ${\mathrm{Dih}}_n$의 자기 동형 사상의 수는 $n\varphi (n)$이다. 여기서 $\varphi$는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, $(a,b)\in \mathbb{Z}/n⋊(\mathbb{Z}/n{)}^{\times }$는 $s$를 $s{r}^a$로, $r$를 $r^b$로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.

${\mathrm{Dih}}_n$의 중심·내부 자기 동형군은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}({\mathrm{Dih}}_n)\cong \{\begin{array}{cc}1& n=0\vee (n\ne 1\wedge n\equiv 1(\mathrm{mod}2))\\ \mathbb{Z}/2& n=1\vee (n\ne 0\wedge n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$

$\mathrm{Inn}({\mathrm{Dih}}_n)\cong \{\begin{array}{cc}{\mathrm{Dih}}_n& n=0\vee (n\ne 1\wedge n\equiv 1(\mathrm{mod}2))\\ {\mathrm{Dih}}_{n/2}& n=1\vee (n\ne 0\wedge n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$

구체적으로, 만약 $n$이 짝수라면, $\pi$ 라디안 회전 대칭 $r^{n/2}$은 ${\mathrm{Dih}}_n$의 원소이며, 모든 원소와 가환한다.

무한 정이면체군

무한 정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}$는 정수의 집합 $\mathbb{Z}$의 대칭군이다.

무한 정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}$는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

${\mathrm{Dih}}_{\mathrm{\infty }}=(\mathbb{Z}/2)*(\mathbb{Z}/2)$

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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같이 보기

• 군
• 군론
• 대칭군 (군론)