이와사와 분해

틀:위키데이터 속성 추적 리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, 틀:Llang)는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.틀:Rp

정의

리 대수의 이와사와 분해

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 반단순 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 카르탕 대합 $\theta$

그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해

$𝔤=𝔨\oplus 𝔭$

를 정의할 수 있다. 여기서 $𝔨$는 콤팩트 리 대수이며, $𝔭$는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

$𝔞\subset 𝔭$가 $𝔭$ 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 $𝔞$에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, $𝔫$이 $(𝔤,𝔞)$의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.

$𝔤=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

이를 $𝔤$의 이와사와 분해라고 한다.

리 군의 이와사와 분해

$G$가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 $𝔤=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상

$K=\exp (𝔨)\subset G$

$A=\exp (𝔞)\subset G$

$N=\exp (𝔫)\subset G$

을 정의할 수 있다. 이 경우

• $K$는 콤팩트 반단순 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. $G$의 중심을 포함한다.
• $A$는 단일 연결 아벨 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이다.
• $N$은 단일 연결 멱영 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이다.

그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.틀:Rp (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)

$K\times A\times N\to G$

따라서, 임의의 원소 $g\in G$를

$g=k(g)a(g)n(g)$

$k(g)\in K$

$a(g)\in A$

$n(g)\in N$

과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다.

만약 $G$가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 $G$의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, $K$는 $G$의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수(틀:Llang)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

성질

실수 반단순 리 대수 $𝔤$의 이와사와 분해

$𝔤=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• $𝔨$는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
• $𝔞\subset 𝔭$는 가환 리 대수이다. 즉, $[𝔞,𝔞]=0$이다.
• $𝔫$은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여 틀:Mindent이다.

카르탕 분해와의 관계

반단순 리 대수 $𝔤$의 카르탕 대합 $\theta$이 주어졌을 때, 카르탕 분해

$𝔤=𝔨\oplus 𝔭$

를 정의할 수 있다. 이는 같은 $\theta$에 대한 이와사와 분해

$𝔤=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

와 다음과 같은 관계를 갖는다.

• 카르탕 분해의 $𝔨$는 이와사와 분해의 $𝔨$와 같다.
• 카르탕 분해의 $𝔭$는 이와사와 분해의 $𝔞$를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 $𝔫$은 일반적으로 $𝔨$의 부분 대수도, $𝔭$의 부분 대수도 아니다.)
• 카르탕 분해에서, $𝔭$는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 $𝔞$와 $𝔫$은 둘 다 리 대수이다.
• 카르탕 분해에서, $𝔨$와 $𝔭$는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, $𝔨$와 $𝔞$는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, $𝔫$은 $𝔨$ 및 $𝔞$와 직교일 필요가 없다.

예

대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

군	콤팩트 성분	아벨 성분	멱영 성분
실수 일반선형군 $\mathrm{GL}(n,ℝ)$	직교군 $\mathrm{O}(n,ℝ)$	양의 대각행렬군 $({ℝ}^{+}{)}^n$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
실수 특수선형군 $\mathrm{SL}(n,ℝ)$	특수직교군 $\mathrm{SO}(n,ℝ)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $({ℝ}^{+}{)}^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
2×2 실수 특수선형군 $\mathrm{SL}(2,ℝ)$	$S^1\cong \left\{\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right\}$	${ℝ}^{+}\cong \{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a^{-1}\end{array}\right)|y\in {ℝ}^{+}\}$	$ℝ\cong \{\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)|a\in ℝ\}$
복소 일반선형군 $\mathrm{GL}(n,ℂ)$	유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$	양의 대각행렬군 $({ℝ}^{+}{)}^n$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
복소 특수선형군 $\mathrm{SL}(n,ℂ)$	유니터리 군 $\mathrm{SU}(n)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $({ℝ}^{+}{)}^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
콤팩트 반단순 리 군 $G$	$G$	자명군 1	자명군 1

그람-슈미트 과정

틀:본문 일반선형군 $\mathrm{GL}(n,ℝ)$의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 $V\cong {ℝ}^n$의 기저 $\{v_1,\dots ,v_n\}\subset V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬

$B=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)\in \mathrm{GL}(V)\cong \mathrm{GL}(n,ℝ)$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를

$U^{-1}B=O$

의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 $O$는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, $U$는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, $U$를 추가로 분해하여

$U_0^{-1}{D}^{-1}B=O$

로 놓자. 여기서 $U_0$은 $B$를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, $D$는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,

$B=U_{0}DO$

가 되며, 이는 $\mathrm{GL}(n,ℝ)$의 이와사와 분해이다.

상반평면의 이와사와 분해

리 군 $\mathrm{SL}(2,ℝ)$의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면

$ℍ=\{x+iy|x\in ℝ,y\in {ℝ}^{+}\}$

은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.

$ℍ=\mathrm{SL}(2,ℝ)/\mathrm{SO}(2,ℝ)$

즉, 이는 $\mathrm{SL}(2,ℝ)$의 이와사와 분해 $\mathrm{SO}(2,ℝ)\times {ℝ}^{+}\times ℝ$에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.

$x+iy\mapsto (\left(\begin{array}{cc}{y}^{1/2}& 0\\ 0& y^{-1/2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right))$

역사

이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:수학노트