카르탕 대합

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, 틀:Llang)은 킬링 형식을 음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다.

정의

실수 반단순 리 대수 $𝔤$가 주어졌으며, 그 킬링 형식

$B:𝔤\otimes 𝔤\to ℝ$

$B(x,y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y))$

을 생각하자.

$𝔤$의 리 대수 자기 동형

$\theta :𝔤\to 𝔤$

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다.

• (대합 조건) $\theta \circ \theta ={\mathrm{id}}_{𝔤}$
• $B(-,\theta (-))$는 $𝔤$ 위의 음의 정부호 이차 형식이다.

성질

존재와 유일성

모든 실수 반단순 리 대수 $𝔤$는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합 $\theta$, ${\theta }^{\prime }$에 대하여

${\theta }^{\prime }=\theta \circ {\mathrm{Ad}}_g$

가 되는, $𝔤$에 대응하는 단일 연결 리 군 $G$의 원소 $g\in G$가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다.

카르탕 분해

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 대합

$\theta :𝔤\to 𝔤$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\theta$의 고윳값은 $\pm 1$이므로, 이에 대한 고유 공간

$𝔤=𝔨\oplus 𝔭$

$\theta (k+p)=k-p(k\in 𝔨,p\in 𝔭)$

을 정의할 수 있다. $\theta$는 리 대수 자기 동형이므로,

$[𝔨,𝔨]\subseteq 𝔨$

$[𝔨,𝔭]\subseteq 𝔭$

$[𝔭,𝔭]\subseteq 𝔨$

이다. 특히, $𝔨$는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합 $\theta$에 대한 카르탕 분해라고 한다.

만약 $K=ℝ$이며 $\theta$가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.

• 킬링 형식 $B$는 $𝔨$에서 음의 정부호 이차 형식이며, $𝔭$에서 양의 정부호이다.
• $𝔨$와 $𝔭$는 $B$에 대하여 서로 수직이다. 즉, $B\upharpoonright 𝔨\otimes 𝔭=0$이다.

예

$𝔰𝔩(n;ℝ)$ 위의 카르탕 대합은

$\theta :x\mapsto -x^{\mathrm{\top }}$

이다. (여기서 $(-{)}^{\mathrm{\top }}$은 $n\times n$ 정사각 행렬의 전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는

$𝔨=𝔬(n;ℝ)$

$𝔭=\{x\in 𝔰𝔩(n;ℝ):x=x^{\mathrm{\top }}\}$

이다.

만약 실수 반단순 리 대수 $𝔤$의 킬링 형식이 음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는 $𝔨=𝔤$이며 $𝔭=0$이다.

역사

1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드