제한근

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 제한근(制限根, 틀:Llang)은 리 대수에서, 극대 부분 콤팩트 리 대수의 직교 여공간에 대한 고윳값들의 벡터이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 반단순 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 카르탕 대합 $\theta$. 이에 대한 카르탕 분해를 $𝔤=𝔨\oplus 𝔭$라고 하자.
• $𝔭$의 극대 아벨 부분 리 대수 $𝔞\subseteq 𝔭$

그렇다면, 쌍대 공간 ${𝔞}^{\vee }$의 원소

$\lambda \in {𝔞}^{\vee }$

에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

${𝔤}_{\lambda }=\{x\in 𝔤:[a,x]=\lambda (a)x\mathrm{\forall }a\in 𝔞\}$

물론

${𝔤}_0=\bigcap _{a\in 𝔞}\ker \mathrm{ad}(a)$

이다.

만약 ${𝔤}_{\lambda }\ne 0$이며 $\lambda \ne 0$이라면, $\lambda$를 $(𝔤,𝔞)$의 제한근이라고 하며, ${𝔤}_{\lambda }$를 그 제한근 공간(틀:Llang)이라고 한다. $(𝔤,𝔞)$의 제한근들의 집합을 $\mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞)$로 표기하자.

성질

실수 반단순 리 대수 $𝔤$의 제한근은 다음 조건들을 만족시킨다.

$𝔤={𝔤}_0\oplus \underset{\lambda \in \mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞)}{⨁}{𝔤}_{\lambda }$

즉, 실수 반단순 리 대수 $𝔤$는 그 제한근 공간들의 합으로 분해된다. 또한, 이 분해의 각 성분들은 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다.

다음이 성립한다.

$[{𝔤}_{\lambda },{𝔤}_{\mu }]\subseteq {𝔤}_{\lambda +\mu }(\lambda ,\mu \in \mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞))$틀:Rp

$\theta {𝔤}_{\lambda }={𝔤}_{-\lambda }(\lambda ,\mu \in \mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞))$틀:Rp

${𝔤}_0=𝔞\oplus \{k\in 𝔨:[𝔞,k]=0\}$틀:Rp

이와사와 분해

틀:본문 $\mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞)$에서, 임의로 양근의 개념

${\mathrm{\Sigma }}^{+}(𝔤,𝔞)\subseteq \mathrm{\Sigma }(𝔤,𝔞)$

을 정의하자. 이제

$𝔫=\underset{\lambda \in {\mathrm{\Sigma }}^{+}(𝔤,𝔞)}{⨁}{𝔤}_{\lambda }$

를 정의하면,

$𝔤=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

은 $𝔤$의 이와사와 분해이다.

같이 보기

• 사타케 도표

외부 링크

• 틀:Eom