보형 형식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 보형 형식(保型形式) 또는 자기동형 형식(自己同型形式, 틀:Llang)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석 함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다.

정의

임의의 리 군 $G$ 은 이와사와 분해(틀:Llang)를 통해 멱영군 $N$ , 아벨 군 $A$ , 콤팩트 반단순 군 $K$ 로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 $g \in G$ 는 이와사와 분해에 따라

g = n (g) a (g) k (g)

n (g) \in N, a (g) \in A, k (g) \in K

와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 $G$ 가 이산 부분군 $Γ \subset G$ 를 갖는다고 하자. $G$ 위의, $Γ$ 에 대한 보형 형식 $f : G \to ℂ$ 는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끄러운 함수이다.

모든 $γ \in Γ$ , $g \in G$ 에 대하여, $f (γ g) = f (g)$
( $K$ -유한성) $f$ 를 $K$ 의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터 공간이 유한 차원이다.
( $𝒵$ -유한성) $𝒵$ 가 $G$ 의 리 대수 $𝔤$ 의 보편 포락 대수 $U (𝔤)$ 의 중심이라고 하자. 그렇다면, $f$ 를 상쇄시키는, $𝒵$ 의 유한 여차원 아이디얼 $J \subset 𝒵$ 이 존재한다.
(첨점에서의 완만한 성장 틀:Llang) 첨점 근처에서, $| f (g) | = O (‖ a (g) ‖^{λ})$ 인 $λ \in ℝ$ 가 존재한다.

이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형 함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 보형 인자(틀:Llang) $j$ 라는 인자가 포함되었다. 즉,

f (γ \cdot z) = j (γ, z)^{- m} f (x)

의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식은 상반평면 $ℍ$ 위에, 모듈러 군 $Γ = PSL (2, ℤ)$ 에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 $G = SL (2, ℝ)$ 의 부분군 $K = SO (2, ℝ)$ 에 대한 잉여류 공간

SL (2, ℝ) / SO (2, ℝ) ≅ ℍ

위의 함수로 재해석된다.

보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈가 랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론의 갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.