틀다발

위상수학에서 틀다발(틀:Llang)은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다.틀:Rp 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

정의

틀

$n$차원 실수 벡터 공간 $V$ 위의 $k$차 틀(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상

$f:{ℝ}^n\to V$

$f:0\mapsto 0$

의 $k$차 제트 ${\mathrm{j}}_0^k$이다. (그러나 $f$가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, $k$차 틀들의 집합을 ${\mathrm{Frame}}_k(V)$라고 표기하자. 그 위에는 $k$차 제트 군 ${\mathrm{Frame}}_k({ℝ}^k)=\mathrm{Jet}(n,k)$의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

$({\mathrm{j}}_0^{k}f)\cdot ({\mathrm{j}}_0^{k}g)={\mathrm{j}}_0^k(f\circ g)\mathrm{\forall }{\mathrm{j}}_0^{k}f\in {\mathrm{Frame}}_k(V),{\mathrm{j}}_0^{k}g\in \mathrm{Jet}(n,k)$

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 $f:{ℝ}^n\to V$에 불과하다.틀:Rp

틀다발

위상 공간 $X$ 위의 $n$차원 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in X$에 대하여 올 $E_x$는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\mathrm{F}}^{n}E=\underset{x\in X}{⨆}{\mathrm{Frame}}_k(E_x)$

이 위에는 제트 군 $\mathrm{Jet}(n,k)={\mathrm{Frame}}_k({ℝ}^n)$의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.

${\mathrm{j}}_0^{k}f\cdot {\mathrm{j}}_0^{k}g={\mathrm{j}}_0^k(f\circ g)\mathrm{\forall }x\in X,f\in {\mathrm{Frame}}_k(E_x),g\in \mathrm{Jet}(n,k)$

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, $E$의 국소 자명화 $(U_i,{\varphi }_i)$는 부분 집합 $U_i\subseteq X$ 및 위상 동형

${\varphi }_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times {ℝ}^k$

으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수

$\underset{x\in U_i}{⨆}{\mathrm{Frame}}_k(E_x)\to U_i\times \mathrm{Jet}(n,k)$

를 정의할 수 있으며, 이를 통해 $\underset{x\in U_i}{⨆}{\mathrm{Frame}}_k(E_x)$에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 ${\mathrm{F}}^{n}E$ 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수

${\mathrm{F}}^{n}E\twoheadrightarrow X$

$(\varphi \in \in {\mathrm{Frame}}_k(E_x))\mapsto x$

는 $X$ 위의, 올 $\mathrm{Jet}(n,k)$의 올다발을 이룬다. 또한, $\mathrm{Jet}(n,k)$의 오른쪽 작용을 통하여 이는 $\mathrm{Jet}(n,k)$-주다발을 이룬다. 이를 $E$의 $k$차 틀다발($k$次-, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

흔히, 만약 $k$가 생략되었다면 1차 틀다발 $\mathrm{F}E={\mathrm{F}}^{1}E$를 뜻한다.

군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발

직교 틀다발

다양체 $M$ 위의 $k$차원 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 $(p,q)$ ($p+q=k$)의 내적 $g$가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면

$g\in \mathrm{\Gamma }({\mathrm{Sym}}^2{E}^{*})$

가 주어졌으며, 임의의 $x\in M$에 대하여 $g_x$는 $E_x$ 위의, 부호수 $(p,q)$의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\mathrm{F}}_{\mathrm{o}}E=\underset{x\in X}{⨆}\mathrm{Hilb}({ℝ}^{(p,q)};E_x,g_x)$

여기서,

• ${ℝ}^{p,q}$는 부호수 $(p,q)$의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 ${ℝ}^k$ 위에 이차 형식 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_k^2$을 부여한 것이다.
• $\mathrm{Hilb}(-;-)$는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)$의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)$-주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, $\mathrm{O}(p,q)$ 대신 특수 직교군 $\mathrm{SO}(p,q)$를 사용하여, $\mathrm{SO}(p,q)$-주다발인 특수 직교 틀다발(特殊直交-, 틀:Llang) ${\mathrm{F}}_{\mathrm{SO}}E$을 정의할 수 있다.

복소수 틀다발

위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 $2n$차원 벡터 다발 $E$의 경우, 복소수 틀다발(틀:Llang) ${\mathrm{F}}_{ℂ}E$을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 $\mathrm{GL}(n;ℂ)$인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발(틀:Llang) ${\mathrm{F}}_{\mathrm{U}}E$을 정의할 수 있으며, 그 올은 $\mathrm{U}(n)$이다.

성질

포함 관계

부호수 $(p,q)$의 내적이 주어진 벡터 다발 $E$를 생각하자. 군의 포함 관계 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)\subseteq \mathrm{GL}(p+q;ℝ)$에 따라, 자연스러운 포함 관계 ${\mathrm{F}}_{\mathrm{O}}E\subseteq \mathrm{F}E$가 존재한다.

연관 다발과의 관계

$k$차원 다양체 $M$의 접다발 $\mathrm{T}M$의 틀다발 $\mathrm{F}\mathrm{T}M$을 생각하자. 이 주다발의, $\mathrm{GL}(k;ℝ)$의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 $\mathrm{T}M$이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, $(p,q)$차원 일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 직교 틀다발 ${\mathrm{F}}_{\mathrm{O}}\mathrm{T}M$을 생각하자. 이 주다발의, $\mathrm{O}(p,q;ℝ)$의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 $\mathrm{T}M$이다.

함자성

국소 미분 동형 사상 $\varphi :M\to N$이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.

${\mathrm{F}}^k\varphi :{\mathrm{F}}^{k}M\to {\mathrm{F}}^{k}N$

${\mathrm{F}}^k\varphi :(x,{\mathrm{j}}_0^{k}f)\to (\varphi (x),{\mathrm{j}}_0^k({\mathrm{T}}_x\varphi \circ f))(x\in M,f:{ℝ}^{\dim M}\to {\mathrm{T}}_{x}M)$

이에 따라, ${\mathrm{F}}^k$는 $n$차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, $\mathrm{Jet}(n,k)$-매끄러운 주다발을 갖춘 $n$차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.틀:Rp

접속

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 직교 틀다발 ${\mathrm{F}}_{\mathrm{O}}\mathrm{T}M$의 주접속 $\omega$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 $\mathrm{O}(p,q;ℝ)\to {\mathrm{T}}_{x}M\otimes {\mathrm{T}}_x^{*}M$으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.

$\kappa :𝔬(p,q;ℝ)\otimes {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$

이에 따라, 틀다발의 주접속 $\omega$로부터 접다발의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\kappa (\omega (X))=\mathrm{\nabla }X$

이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 $\kappa$ 등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab