제트 군

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 제트 군(jet群, 틀:Llang) 또는 미분군(微分群, 틀:Llang)은 원점을 보존하는 유클리드 공간의 자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.틀:Rp 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다.

정의

자연수 $n$과 $k$가 주어졌다고 하자.

${\mathrm{Aut}}_{{\mathrm{Diff}}_{\bullet }}({ℝ}^n,0)=\{f\in {\mathrm{Aut}}_{\mathrm{Diff}}({ℝ}^n),f(0)=0\}$

가 미분 동형 사상 $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 가운데, $f(0)=0$인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.

$n$차원 $k$차 제트 군($n$次元$k$次jet群, 틀:Llang) $\mathrm{Jet}(n,k)$는 ${\mathrm{Aut}}_{{\mathrm{Diff}}_{\bullet }}(ℝ,0)$의 원소들의, $0\in {ℝ}^n$에서의 $k$차 제트들의 집합이다.틀:Rp틀:Rp

$\mathrm{Jet}(n,k)=\{{\mathrm{j}}_0^{k}f:f\in {\mathrm{Aut}}_{{\mathrm{Diff}}_{\bullet }}({ℝ}^n,0)\}$

이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

$({\mathrm{j}}_0^{k}f)({\mathrm{j}}_0^{k}g)={\mathrm{j}}_0^k(f\circ g)$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

${\mathrm{j}}_0^k:{\mathrm{Aut}}_{{\mathrm{Diff}}_{\bullet }}({ℝ}^n,0)\to \mathrm{Jet}(n,k)$

이 존재한다.

성질

$\mathrm{Jet}(n,k)$의 차원은 다음과 같다.

$\dim \mathrm{Jet}(n,k)=n((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})-1)$

$n>0$이며 $k>0$일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$n$차원 매끄러운 다양체의 $k$차 틀다발은 자연스럽게 $\mathrm{Jet}(n,k)$를 구조군으로 갖는다.

반직접곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리 군 $G$
• 자연수 $n$과 $k$

그렇다면, 제트 공간

${\mathrm{T}}_n^{k}G=\{{\mathrm{j}}_0^{k}g:g:{ℝ}^n\to G\}$

을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.틀:Rp

$({\mathrm{j}}_0^{k}g)({\mathrm{j}}_0^k{g}^{\prime })={\mathrm{j}}_0^k(g{g}^{\prime })$

여기서

$g{g}^{\prime }:x\mapsto g(x)g^{\prime }(x)$

는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 $\mathrm{Jet}(n,k)$는 ${\mathrm{T}}_n^{k}G$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

$({\mathrm{j}}_0^{k}g)\cdot ({\mathrm{j}}_0^{k}f)={\mathrm{j}}_0^k(g\circ f)(f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n,g:{ℝ}^n\to G)$

이는 군 준동형

$\mathrm{Jet}(n,k{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Aut}({\mathrm{T}}_n^{k}G)$

을 이룬다. 따라서, 반직접곱

${\mathrm{T}}_n^{k}G⋊\mathrm{Jet}(n,k{)}^{\mathrm{op}}$

을 정의할 수 있다.틀:Rp

예

$k=0$이거나 또는 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.

$\mathrm{Jet}(n,0)=\mathrm{Jet}(0,k)=1\mathrm{\forall }n,k\in \mathbb{N}$

$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

$\mathrm{Jet}(n,1)=\mathrm{GL}(n;ℝ)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

외부 링크

• 틀:Nlab
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