일반화 리만 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 미분기하학에서 일반화 리만 다양체(一般化Riemann多樣體, 틀:Llang)는 리만 계량과 2차 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의

일반화 리만 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

일반화 리만 다양체 $(M,g,B)$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 2차 미분 형식 $B\in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$

일반화 접다발을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 접다발은 다음과 같은 $2\dim M$차원 매끄러운 벡터 다발이다.

$E=\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$

즉, 접다발과 공변접다발의 직합이다. 그 위에는 자연스러운 쌍선형 형식

$⟨X+\alpha ,Y+\beta ⟩=\frac{\alpha (Y)+\beta (X)}{2}$

이 존재하며, 그 부호수는 $(\dim M,\dim M)$이다. 이에 따라 자연스러운 벡터 다발 동형 사상

$E\cong E^{*}$

이 존재한다.

$M$ 위의 일반화 리만 계량

$G:E\to E$

은 다음 조건들을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.틀:Rp

• (자기 수반) $G^{\mathrm{\top }}=G$이다. 즉, $⟨x,Gy⟩=⟨Gx,y⟩$이다.
• (직교성) $G$는 벡터 다발의 동형 사상이며, $G=G^{-1}$이다.
• (정부호성) $⟨G-,-⟩$는 양의 정부호이다.

두 정의 사이의 관계

이 두 정의는 서로 동치이다.틀:Rp

일반화 접다발 $E=\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$ 위의 일반화 리만 계량 $G$가 주어졌다면, $G^2=1$이므로 그 고윳값은 ±1이다. 즉, $E$는 고유 공간

$E=E^{+}\oplus E^{-}$

로 분해되며, 이들은 서로 직교이다.

$⟨E^{+},E^{-}⟩=0$

이 부분 공간 $E^{+}$는 어떤 벡터 다발 사상 $\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$의 그래프로 해석할 수 있다. 이 벡터 다발 사상은 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해하여

$g+B$

로 쓸 수 있으며, 이는 각각 리만 계량과 2차 미분 형식에 해당한다. 마찬가지로, $E^{-}$는 $B-g$의 그래프가 된다.

$E_x^{\pm }=\{X+B(X,-)\pm g(X,-):X\in {\mathrm{T}}_{x}M\}$

예

모든 켈러 다양체는 (심플렉틱 형식과 리만 계량을 사용하여) 자연스럽게 일반화 리만 다양체를 이룬다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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