파울리 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 수학과 물리학에서 파울리 행렬(틀:Lang)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$로, 다음과 같다.

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 ${𝔰𝔲}_2$의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.

수학적 성질

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.

${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i$ : 에르미트 행렬

${\sigma }_i^{†}{\sigma }_i=I$ : 유니타리 행렬

여기서 $I$는 단위행렬이다.

증명 : 파울리 행렬은 에르미트 행렬이다.

${\sigma }_1^{†}=\left(\begin{array}{cc}0& \overline{1}\\ \overline{1}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)={\sigma }_1$ ${\sigma }_2^{†}=\left(\begin{array}{cc}0& \overline{i}\\ \overline{-i}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)={\sigma }_2$ ${\sigma }_3^{†}=\left(\begin{array}{cc}\overline{1}& 0\\ 0& \overline{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)={\sigma }_3$

증명 : 파울리 행렬은 유니타리 행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로, ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i$ 이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다. ${\sigma }_i^2=I$ 위의 증명은 아래와 같다. ${\sigma }_1^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+1& 0+0\\ 0+0& 1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$ ${\sigma }_2^2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+(-i)\times i& 0+0\\ 0+0& i\times (-i)+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$ ${\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+0& 0+0\\ 0+0& 0+(-1{)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=I$

파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다.

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& \text{for}i=1,2,3\end{array}$

이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다.

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_a,{\sigma }_b]& =& 2i\sum _c{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c\\ \{{\sigma }_a,{\sigma }_b\}& =& 2{\delta }_{ab}\cdot I\end{array}$

여기서 ε_abc는 레비치비타 기호, δ_ab는 크로네커 델타이며, $[{\sigma }_a,{\sigma }_b]$는 리 괄호이다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

${\sigma }_a{\sigma }_b={\delta }_{ab}\cdot I+i\sum _c{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c$.

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

$\begin{array}{ccc}{\sigma }_1{\sigma }_2& =& i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_2{\sigma }_3& =& i{\sigma }_1,\\ {\sigma }_2{\sigma }_1& =& -i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_1{\sigma }_1& =& I.\end{array}$

이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(틀:Lang)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

$\mathit{\sigma }={\sigma }_1\hat{x}+{\sigma }_2\hat{y}+{\sigma }_3\hat{z}$

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

$(𝐚\cdot \mathit{\sigma })(𝐛\cdot \mathit{\sigma })=𝐚\cdot 𝐛+i\mathit{\sigma }\cdot (𝐚\times 𝐛)$

증명
$(𝐚\cdot \mathit{\sigma })(𝐛\cdot \mathit{\sigma })$ $=a_i{\sigma }_i{b}_j{\sigma }_j$ $=a_i{b}_j{\sigma }_i{\sigma }_j$ $=a_i{b}_j({\delta }_{ij}\cdot I+i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k)$ $=a_i{b}_j{\delta }_{ij}\cdot I+i{\sigma }_k{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j$ $=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 $\hat{n}$, 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.

$e^{i(𝐚\cdot \mathit{\sigma })}=\cos a+i(\hat{n}\cdot \mathit{\sigma })\sin a$

증명

먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해 $(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n}=I$ 이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는 $(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n+1}=\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }$ 임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계 $e^{ix}$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n{x}^n}{n!}$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 를 이용하고 x에 $x=a(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })$ 을 대입하면, $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n}}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n}}{2n!}+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서, $e^{ia(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })}=\cos a+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sin a$ 이다.

리 대수의 발생원

파울리 행렬은 리 대수 $𝔰𝔲(2)$ (또는 ${𝔞}_1$)의 발생원이다, 즉

$[\frac{{\sigma }^i}{2},\frac{{\sigma }^j}{2}]={ϵ}^{ijk}\cdot \frac{{\sigma }^k}{2}$

이므로, 그 구조 상수는 ${ϵ}^{ijk}$이다.

클리퍼드 대수의 발생원

파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다

$\{{\sigma }^i,{\sigma }^j\}=2{\delta }^{ij}$

따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

같이 보기

• 디랙 행렬
• 각운동량
• 겔만 행렬
• 푸앵카레 군
• 블로흐 구면
• 오일러의 네 제곱수 항등식
• 교환 행렬

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:수학노트