평균값 정리

(a, f(a))와 (b, f(b))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c에서의 접선을 얻을 수 있다.

틀:미적분학 미적분학에서 평균값 정리(平均-定理, 틀:Llang)는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

정의

롤의 정리

틀:본문 연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수이며, 또한 $f(a)=f(b)$라고 하자. 그렇다면, $f^{\prime }(c)=0$인 $c\in (a,b)$가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다.

평균값 정리

연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

이를 평균값 정리라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 $t\mapsto (t,f(t))$에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$인 특수한 경우이다. 틀:증명 함수 $g:[a,b]\to ℝ$를 다음과 같이 정의하자.

$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

(즉, $g$는 $f$에서 $f$의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, $g$는 연속 함수이며, $(a,b)$에서 미분 가능하며,

$g(a)=g(b)=0$

이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

코시 평균값 정리

곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.

연속 함수 $f,g:[a,b]\to ℝ$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, $g^{\prime }\ne 0$라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

이를 코시 평균값 정리(틀:Llang) 또는 확장 평균값 정리(틀:Llang)라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선 $t\mapsto (f(t),g(t))$이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 $g(x)=x$인 특수한 경우이다. 곡선이 임계점을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선

$[-1,1]\to {ℝ}^2$

$t\mapsto (t^3,1-t^2)$

의 양 끝점 $(-1,0)$, $(1,0)$을 지나는 직선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다. 틀:증명 다르부 정리에 따라, 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여 $g^{\prime }(x)>0$이거나, 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여 $g^{\prime }(x)<0$이다. 함수 $h:[a,b]\to ℝ$를 다음과 같이 정의하자.

$h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$

그렇다면, $h$는 연속 함수이며, $(a,b)$에서 미분 가능하며,

$h(a)=h(b)=0$

이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(c)$

행렬식 평균값 정리

함수 $f,g,h:[a,b]\to ℝ$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $x\in (a,b)$가 존재한다.

$\left|\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)& h^{\prime }(x)\\ f(a)& g(a)& h(a)\\ f(b)& g(b)& h(b)\end{array}\right|=0$

코시 평균값 정리는 여기서 $h(x)=1$을 취한 특수한 경우이다. 틀:증명 함수

$D:[a,b]\to ℝ$

$D(x)=\left|\begin{array}{ccc}f(x)& g(x)& h(x)\\ f(a)& g(a)& h(a)\\ f(b)& g(b)& h(b)\end{array}\right|$

에 롤의 정리를 적용한다. 틀:증명 끝

다변수 함수의 경우

임의의 볼록 열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 미분 가능 함수 $f:U\to ℝ$ 및 점 $𝐱,𝐲\in U$에 대하여, 다음을 만족시키는 $t_0\in (0,1)$가 존재한다.

$f(𝐲)-f(𝐱)=\mathrm{\nabla }f((1-t_0)𝐱+t_0𝐲)\cdot (𝐲-𝐱)$

(일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서 $n=1$을 취한 특수한 경우이다. 틀:증명 함수 $g:[0,1]\to ℝ$를 다음과 같이 정의하자.

$g(t)=f((1-t)𝐱+t𝐲)$

그렇다면, $g$는 미분 가능 함수이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 $t_0\in (0,1)$가 존재한다.

$0=g^{\prime }(t_0)=f^{\prime }(g(t_0))\cdot (𝐲-𝐱)$

적분 평균값 정리

제1 적분 평균값 정리

임의의 연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(c)(b-a)$

이에 따라, $f$의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. 보다 일반적으로, 임의의 연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$ 및 리만 적분 가능 함수 $g:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$ (또는 $g:[a,b]\to (-\mathrm{\infty },0]$)에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

이를 제1 적분 평균값 정리(틀:Llang)라고 한다. $c\in [a,b]$의 존재는 중간값 정리을 사용하여 쉽게 보일 수 있다. $g$가 연속 함수라고 가정하면 $c\in (a,b)$의 존재 역시 미적분학만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 실해석학이 필요하다. 틀:증명 편의상 $g:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$라고 가정하자.

$m=\inf f\in ℝ$

$M=\sup f\in ℝ$

라고 하자. 임의의 $x\in [a,b]$에 대하여

$mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$

이므로,

$m\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx\le M\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

이다. 만약

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=0$

이라면, 위 부등식에 따라

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=0$

이다. 이 경우 임의의 $c\in (a,b)$를 취한다. 만약

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx\ne 0$

$m<\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx}<M$

이라면, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$f(c)=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx}$

이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx\ne 0$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=M\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

라고 가정하자. 항상 $f(x)g(x)\le Mg(x)$이므로, 가정에 따라 거의 모든 $x\in [a,b]$에 대하여 $f(x)g(x)=Mg(x)$이다. 마찬가지로, 항상 $g(x)\ge 0$이므로, $g(x)>0$인 $x\in [a,b]$는 양의 르베그 측도의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 $a$와 $b$는 영집합을 이룬다. 따라서,

$f(x)g(x)=Mg(x)$

$g(x)>0$

$x\ne a,b$

인 $x\in [a,b]$의 집합은 양의 르베그 측도를 가지며, 특히 공집합이 아니다. 즉,

$f(c)=M=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx}$

인 $c\in (a,b)$가 존재한다. 틀:증명 끝

제2 적분 평균값 정리

제2 적분 평균값 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.

• 임의의 증가함수 $f:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$ 및 리만 적분 가능 함수 $g:[a,b]\to ℝ$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(b)\underset{c}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

• 임의의 감소함수 $f:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$ 및 리만 적분 가능 함수 $g:[a,b]\to ℝ$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{c}{\int }}g(x)dx$

• 임의의 단조함수 $f:[a,b]\to ℝ$ 및 리만 적분 가능 함수 $g:[a,b]\to ℝ$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{c}{\int }}g(x)dx+f(b)\underset{c}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

첫 번째·두 번째 명제는 $f$가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, $f$는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두 $g$에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 $g$가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 $g$의 연속성과 $f$의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다. 틀:증명 임의의 감소함수 $f:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$에 대하여, $f_1:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$, $f_1(x)=f(a+b-x)$는 증가함수이다. 임의의 증가함수 $f:[a,b]\to ℝ$에 대하여, $f_2:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$, $f_2(x)=f(x)-f(a)$는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 감소함수 $f:[a,b]\to ℝ$에 대하여, $f_3:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$, $f_3(x)=f(x)-f(b)$는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다.

증가함수 $f:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$ 및 리만 적분 가능 함수 $g:[a,b]\to ℝ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$ 역시 리만 적분 가능하며, $g$는 유계 함수이다. 따라서, 임의의 구간 분할

$P=(x_0^P,x_1^P,\dots ,x_{n_P}^P)\in \mathrm{part}([a,b])$

$a=x_0^P<x_1^P<\cdots <x_{n_P}^P=b$

에 대하여,

$\begin{array}{cc}|\sum _{i=1}^{n_P}\underset{x_{i-1}^P}{\overset{x_i^P}{\int }}(f(x)-f(x_i^P))g(x)dx|& \le (\sup |g|)\cdot (\sum _{i=1}^{n_P}(\underset{x\in [x_{i-1}^P,x_i^P]}{\sup }f(x))(x_i^P-x_{i-1}^P)-\sum _{i=1}^{n_P}(\underset{x\in [x_{i-1}^P,x_i^P]}{\inf }f(x))(x_i^P-x_{i-1}^P))\\ & \to (\sup |g|)\cdot (𝒰\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-ℒ\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)(P\in \mathrm{part}([a,b]))\\ & =0\end{array}$

이다. (여기서

$𝒰\underset{a}{\overset{b}{\int }}$

$ℒ\underset{a}{\overset{b}{\int }}$

는 리만 상적분·리만 하적분이다. $f$는 리만 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같다.)

$h:[a,b]\to ℝ$

$h(x)=\underset{x}{\overset{b}{\int }}g(t)dt$

라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리에 의하여, $h$는 연속 함수다.

$m=\inf h\in ℝ$

$M=\sup h\in ℝ$

라고 하자. 이제, 아벨 변환을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx& =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }\sum _{i=1}^{n_P}\underset{x_{i-1}^P}{\overset{x_i^P}{\int }}f(x)g(x)dx\\ & =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }\sum _{i=1}^{n_P}f(x_i^P)\underset{x_{i-1}^P}{\overset{x_i^P}{\int }}g(x)dx\\ & =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }\sum _{i=1}^{n_P}f(x_i^P)(h(x_{i-1}^P)-h(x_i^P))\\ & =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(f(b)(h(a)-h(b))+\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))(h(a)-h(x_i^P))\\ & =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(f(b)h(a)+h(a)\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))+\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P))\\ & =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(f(x_1)h(a)+\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P))\\ & \ge \underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(mf(x_1)+m\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P)))\\ & =mf(b)\end{array}$

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx& =\underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(f(x_1)h(a)+\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P))\\ & \le \underset{P\in \mathrm{part}([a,b])}{\lim }(Mf(x_1)+M\sum _{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P)))\\ & =Mf(b)\end{array}$

중간값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=h(c)f(b)=f(b)\underset{c}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

복소 적분 형태

복소평면 상에서 어떤 점 $z_0$을 중심으로 하는 반지름 $r$인 원 내에서 정칙인 함수 $f$에 대하여,

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z_0+r{e}^{it})dt$ 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

틀:증명 코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다. 틀:증명 끝 $f(z)=u(z)+iv(z)$일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

$u(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(z_0+r{e}^{it})dt$

응용

다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.

• 구간 $I$에 정의된 실수값함수 $f$가 만약 $I$에서 연속, $I$의 내부에서 미분 가능하며 항상 $f^{\prime }(x)=0$이라면, $f$는 $I$에서 상수함수이다.
• $f,g:I\to ℝ$가 만약 $I$에서 연속, 내부에선 항상 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$라면, $f,g$는 $I$에서 상수 차이이다.
• $f:I\to ℝ$가 만약 $I$에서 연속, 내부에선 항상 $f^{\prime }(x)\ge 0$이라면, $f$는 $I$에서 단조증가한다.

이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. $I$ 내부의 임의의 두 점 $a<b$에 대해, $f$는 $[a,b]$에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$0=f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

즉 $f(a)=f(b)$. 이로써 $f$는 $I$ 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 $I$ 전체에서 상수다.

역사

이 정리의 최초의 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기

• 조화 함수
• 테일러 급수

참고 문헌

• 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
• 틀:서적 인용
• Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스