극값

함수f(x) = cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1에서의 극값. 일부 극값은 최대/최솟값이기도 하다.

해석학에서, 함수의 극대점(極大點, 틀:Llang)은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, 틀:Llang)은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, 틀:Llang)은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, 틀:Llang)은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, 틀:Llang)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(틀:Llang)이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.

함수의 최대점(最大點, 틀:Llang)과 최소점(最小點, 틀:Llang)은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, 틀:Llang)과 최솟값(最小값, 틀:Llang)은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다.

극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다.

정의

함수 $f:[a,b]\to ℝ$의 그래프. 최소점은 $A$, 최대점은 $J$, 극소점은 $E$, $G$, 극대점은 $B$, $D$, $F$, $J$.

다음이 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 함수 $f:X\to ℝ$

그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, $x\in X$의 근방 $x\in U\subseteq X$가 존재한다면, $x$를 $f$의 극대점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 극댓값이라고 한다.

• 임의의 $y\in U$에 대하여, $f(y)\le f(x)$

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, $x\in X$의 근방 $x\in U\subseteq X$가 존재한다면, $x$를 $f$의 극소점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 극솟값이라고 한다.

• 임의의 $y\in U$에 대하여, $f(y)\ge f(x)$

또한, $x\in X$가 다음 조건을 만족시키면, $x$를 $f$의 최대점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 최댓값이라고 한다.

• 임의의 $y\in X$에 대하여, $f(y)\le f(x)$

마찬가지로, $x\in X$가 다음 조건을 만족시키면, $x$를 $f$의 최소점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 최솟값이라고 한다.

• 임의의 $y\in X$에 대하여, $f(y)\ge f(x)$

또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 $y\ne x$인 경우에 한하여 부등호 $\le$와 $\ge$를 $<$와 $>$로 대신하면, 엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값(嚴格한..., 틀:Llang)의 정의를 얻는다.

유계인 닫힌 구간에서 함수가 연속이면 최대 최소 정리로 최대점,최소점은 항상 유일하게 존재한다.

극소점, 극대점은 존재하지 않을 수 있으며 극대점, 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다.

일계 도함수 판정법

공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 $ℝ$인 함수 $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$를 생각하자.(여기서 $U$는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 ${𝐱}_0$에서 극값을 가진다면 $𝐃f\left({𝐱}_0\right)=\mathrm{𝟎}$이다. 즉, ${𝐱}_0$는 함수 $f$의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 $1$부터 $n$까지의 모든 $i$에 대해 $\frac{\partial f}{\partial x_i}=0$임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.

증명

n=1일 때

극댓값의 정의에 의하여 $x\in I\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$를 만족하는 $x_0$를 포함하는 어떤 개구간 $I$가 존재한다. 개구간은 열린 집합이므로 $(x_0-{\delta }_1,x_0+{\delta }_1)\in I$를 만족하는 어떤 양의 실수 ${\delta }_1$이 존재한다. $f^{\prime }\left(x_0\right)$가 존재하므로 이를 $K$라하자. 그렇다면 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=K$이다. $0<h<{\delta }_1$일 때 $\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}<0$이므로 $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=K\le 0$이다.(극한의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 $-{\delta }_1<h<0$일 때 $\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}>0$이므로 $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=K\ge 0$이다. $K\ge 0$인 동시에$K\le 0$이므로 $K=0$이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 $f$가 미분가능하고 $x_0$에서 극값을 가진다면 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$이다.

모든 n에 대해

임의의 벡터 $𝐡\in {ℝ}^n$에 대해 함수 $g:U^{\prime }\subset ℝ\to ℝ$을 $g\left(t\right)=f({𝐱}_0+t𝐡)$로 정의하자. 그렇다면 $g$는 $t=0$에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 $g^{\prime }(0)=0$이므로 연쇄법칙에 의하여 $𝐃f\left({𝐱}_0\right)𝐡=0$이다. 임의의 $𝐡$에 대해 $0$이므로 $𝐃f\left({𝐱}_0\right)=0$이다.

이계 도함수 판정법

틀:참고 함수 $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$이 $C^3$ 함수이고 ${𝐱}_0\in U$가 함수 $f$의 임계점일 때, ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡$가 양의 정부호이면, 즉 모든 $𝐡\in {ℝ}^n$에 대하여 0 이상이고 $𝐡=\mathrm{𝟎}$일때만 0이라면 ${𝐱}_0$에서 극소이다. 반대로 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡$가 음의 정부호이면, 즉 모든 $𝐡\in {ℝ}^n$에 대하여 0 이하이고 $𝐡=\mathrm{𝟎}$일때만 0이라면 ${𝐱}_0$에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.

여기서 $n=1$이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. $n=1$이라면 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡=\frac{1}{2}{f}^{″}\left(x_0\right)h^2$이므로 $f^{″}\left(x_0\right)>0$일때만 양의 정부호이고 $f^{″}\left(x_0\right)<0$일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 $f^{″}\left(x_0\right)$의 부호를 알아보는 것이다.

증명

보조정리: 어떤 $n\times n$ 실수행렬 $B=\left[b_{ij}\right]$가 있을 때 이차 함수 $H:{ℝ}^n\to ℝ,(h_1,\dots h_n)\mapsto \frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}{h}_i{h}_j$를 정의하자. 만약 $H$가 양의 정부호라면 모든 $𝐡\in {ℝ}^n$가 $H\left(𝐡\right)\ge M{\Vert 𝐡\Vert }^2$을 만족하는 양의 실수 $M$이 존재한다.

(증명) $\Vert 𝐱\Vert =1$인 $𝐱$에 대해 $H\left(𝐱\right)$는 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 최솟값 $M$을 가진다. 이때 $H$가 양의 정부호이므로 $M>0$이다.
틀:Pad$H$는 이차함수이므로 $\mathrm{𝟎}$이 아닌 모든 $𝐡$에 대해 $H\left(𝐡\right)=H\left(\frac{𝐡}{\Vert 𝐡\Vert }\Vert 𝐡\Vert \right)=H\left(\frac{𝐡}{\Vert 𝐡\Vert }\right){\Vert 𝐡\Vert }^2\ge M{\Vert 𝐡\Vert }^2$가 성립한다. $𝐡=\mathrm{𝟎}$일때는 자명하다.

$𝐃f\left({𝐱}_0\right)=\mathrm{𝟎}$이므로 테일러 정리에 의하여 $f({𝐱}_0+𝐡)-f\left({𝐱}_0\right)={𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡+R_2({𝐱}_0,𝐡)$이다. 여기서 $\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{R_2({𝐱}_0,𝐡)}{{\Vert 𝐡\Vert }^2}=0$이다. 만약 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡$가 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡\ge M{\Vert 𝐡\Vert }^2$를 만족하는 양의 실수 $M$이 존재하며 극한의 정의에 의하여 $0<\Vert 𝐡\Vert <\delta \Rightarrow \Vert R_2({𝐱}_0,𝐡)\Vert <M{\Vert 𝐡\Vert }^2$을 만족하는 양의 실수 $\delta$가 존재한다. 따라서 $0<\Vert 𝐡\Vert <\delta$일 때 $f({𝐱}_0+𝐡)-f\left({𝐱}_0\right)={𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡+R_2({𝐱}_0,𝐡)>0$, 즉 $f({𝐱}_0+𝐡)>f\left({𝐱}_0\right)$이다. 그러므로 ${𝐱}_0$에서 극소이다. 비슷한 방식으로 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡$가 음의 정부호이면 ${𝐱}_0$에서 극대이다.

헤세 행렬식과의 관계

파일:Hessian Determinant.svg

그림과 같은 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 이차 도함수 판정법에 이용된다.

헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 ${𝐡}^{T}H\left(f\right)\left({𝐱}_0\right)𝐡$가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 ${𝐱}_0$에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 ${𝐱}_0$에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 ${𝐱}_0$는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.

예를 들어, 이변수 함수 $f(x,y):U\subset {ℝ}^2\to ℝ$이고 $C^3$함수일 경우 만약 $(x_0,y_0)$에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.

1. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$
2. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)>0$
3. $(x_0,y_0)$에서 $D=\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\right)-{\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\right)}^2>0$ 이때 $D$는 $f$의 헤세 행렬의 행렬식이다.

마찬가지로 $(x_0,y_0)$에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.

1. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$
2. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)<0$
3. $(x_0,y_0)$에서 $D>0$

그리고 $(x_0,y_0)$가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, $(x_0,y_0)$에서 $D<0$라면 $(x_0,y_0)$는 안장점이다.

만약 $D=0$이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 $D=0$인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 $D\ne 0$인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.

같이 보기

• 최대 최소 정리
• 라그랑주 승수법

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

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