조건부 확률

확률론에서 조건부 확률(條件附確率, 틀:Llang)은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 $\mathrm{Pr}$라고 할 때, 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 조건부 확률은 $\mathrm{Pr}(A|B)$로 표기한다.

정의

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 및 양의 확률의 사건

$A\in ℱ$

$\mathrm{Pr}(A)>0$

이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 $B\in ℱ$에 대하여, $A$에 대한 $B$의 조건부 확률은 다음과 같다.

$\mathrm{Pr}(B|A)=\frac{\mathrm{Pr}(A\cap B)}{\mathrm{Pr}(A)}$

이 경우, $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr}(\cdot |A))$는 새로운 확률 공간을 이룬다. 틀:증명 우선

$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega }|A)=\frac{\mathrm{Pr}(A\cap \mathrm{\Omega })}{\mathrm{Pr}(A)}=\frac{\mathrm{Pr}(A)}{\mathrm{Pr}(A)}=1$

이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 $𝒢\subseteq ℱ$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\{A\cap B{\}}_{B\in 𝒢}$ 역시 서로소 사건들이므로

$\mathrm{Pr}\left(\bigcup 𝒢|A\right)=\frac{\mathrm{Pr}(\bigcup 𝒢\cap A)}{\mathrm{Pr}(A)}=\frac{\mathrm{Pr}(\bigcup _{B\in 𝒢}(A\cap B))}{\mathrm{Pr}(A)}=\frac{\sum _{B\in 𝒢}\mathrm{Pr}(A\cap B)}{\mathrm{Pr}(A)}=\sum _{B\in 𝒢}\mathrm{Pr}(B|A)$

이다. 틀:증명 끝

성질

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 및 두 사건 $A,B\in ℱ$이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 $\mathrm{Pr}(A)>0$을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.틀:Rp

$\mathrm{Pr}(A\cap B)=\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B|A)$

즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 $A$가 일어날 확률과 $A$가 일어났을 때 $B$가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 $n$개의 사건 $A_1,\dots ,A_n\in ℱ$에 대하여, 만약 $\mathrm{Pr}(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})>0$이라면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{Pr}(A_1\cap \cdots \cap A_n)=\mathrm{Pr}(A_1)\mathrm{Pr}(A_2|A_1)\mathrm{Pr}(A_3|A_1\cap A_2)\cdots \mathrm{Pr}(A_n|A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})$

특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 $\mathrm{Pr}(A)>0$을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $A,B$는 독립 사건이다.
• $\mathrm{Pr}(B|A)=\mathrm{Pr}(B)$. 즉 $B$의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 $A,B,C\in ℱ$에 대하여, 만약 $\mathrm{Pr}(A\cap B)>0$이라면, 다음 항등식이 성립한다.

$\mathrm{Pr}((C|B)|A)=\mathrm{Pr}(C|A\cap B)$

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족

$𝒜\subseteq ℱ$

$|𝒜|\le {\mathrm{\aleph }}_0$

$\mathrm{Pr}(A)>0\mathrm{\forall }A\in 𝒜$

이 주어졌다고 하고, $𝒜$가 전체 공간 $\mathrm{\Omega }$을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 $B\in ℱ$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

$\mathrm{Pr}(B)=\sum _{A\in A}\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B|A)$ (전체 확률의 법칙)

$\mathrm{Pr}(A|B)=\frac{\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B|A)}{\sum _{A^{\prime }\in 𝒜}\mathrm{Pr}(A^{\prime })\mathrm{Pr}(B|A^{\prime })}(𝒜\in 𝒜,B\in ℱ,\mathrm{Pr}(B)>0)$ (베이즈 정리)

같이 보기

• 몬티 홀 문제

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드