이토 확률 과정

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 이토 확률 과정([伊藤]確率過程, 틀:Llang)은 위너 과정의 이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다.

정의

확률 공간 $\mathrm{\Omega }$ 위의 위너 확률 과정

$(W_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$

이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간

$(\mathrm{\Omega },\sigma ({ℱ}_t\cup 𝒢),\mathrm{Pr})$

이 $W$의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

$W$에 대한 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

$(X_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$

이다.

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\mathrm{d}s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Z}_s\mathrm{d}{W}_s$

여기서

• $(Z_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
• $(Y_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$는 $(\mathrm{\Omega },\sigma ({ℱ}_t\cup 𝒢),\mathrm{Pr})$에 대한 순응 확률 과정이다.
• $X_0\in {\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega },ℝ)$는 $W$와 독립인 확률 변수이다.
• $\int \mathrm{d}W$는 이토 적분이다.

흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 $X_0$을 생략하고

$\mathrm{d}{X}_t=Y_t\mathrm{d}t+Z_t\mathrm{d}{W}_t$

와 같이 표기된다.

다양체 위의 이토 확률 과정

보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 $\mathrm{\Omega }$
• 위너 확률 과정 $W_t:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$
• 매끄러운 다양체 $M$. 이를 보렐 가측 공간으로 간주하자.

그렇다면, $M$ 값의 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

$(X(t):\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$

이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.)

$X^{\mu }(t)=X^{\mu }(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}^i(s)e_i^{\mu }\mathrm{d}s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Z}_i^j(t)e_j^{\mu }\mathrm{d}{W}_s^i$

여기서

• $(Z_t:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{m\times n}{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
• $(Y_t:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$는 $(\mathrm{\Omega },\sigma ({ℱ}_t\cup 𝒢),\mathrm{Pr})$에 대한 순응 확률 과정이다.
• $X(0):\mathrm{\Omega }\to M$은 $W$와 독립인, $M$ 값의 확률 변수이다.
• $e_1^{\mu },\dots ,e_n^{\mu }$은 $M$ 위의 $n$개의 벡터장이다. 즉, $e\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M\times {ℝ}^n)$이다.
• 매끄러운 다양체의 접다발의 지표는 $\mu ,\nu ,\dots$로, 유클리드 공간의 지표는 $i,j,\dots$로 표기하였다.

성질

이토 보조 정리

이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 이토 보조 정리([伊藤]補助定理, 틀:Llang) 또는 이토-되블린 정리(틀:Llang)라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 $\mathrm{\Omega }$
• $\mathrm{\Omega }$ 위의 위너 확률 과정 $(W_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$
• $W$에 대한 이토 확률 과정 $X_t=X_0+{\int }_0^t{Y}_s\mathrm{d}s+{\int }_0^t{Z}_s\mathrm{d}{W}_s$
• 함수 $f:{ℝ}^{+}\times ℝ\to ℝ$, $(t,x)\mapsto f(t,x)$. 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여 ${𝒞}^1$ (연속 미분 가능) 함수이며, 둘째 변수에 대하여 ${𝒞}^2$ (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자.

그렇다면, 이토 보조 정리에 따르면,

$X{\text{'}}_t=f(t,X_t)$

는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다.

$f(t,X_t)=f(0,X_0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}(\frac{\partial f}{\partial t}(s,X_s)+\frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Y_s+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Z}_s^2\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}x}(s,X(s)))\mathrm{d}s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Z_s\mathrm{d}{W}_s$

미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.

$\mathrm{d}f(X_t)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,X_t)\mathrm{d}t+\frac{\partial f}{\partial x}(t,X_t)\mathrm{d}{X}_t+\frac{1}{2}{Z}_t^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(t,X_t)\mathrm{d}t$

여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙에 등장하지 않는 것이다.

특히, 만약 $X_t=W_t$이며, $f(t,x)$가 $t$에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다.

$\mathrm{d}f(W_t)=f^{\prime }(W_t)\mathrm{d}{W}_t+\frac{1}{2}{f}^{″}(W_t)\mathrm{d}t$

무한소 생성원

유클리드 공간 위의 이토 과정 $\mathrm{d}{X}^i(t)=Y^i(t)\mathrm{d}t+Z_j^i(t)\mathrm{d}{W}_t^j$ 의, 시간 $t\in [0,\mathrm{\infty })$에서의 무한소 생성원은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족 $(D(t){)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$이다.

$D(t)f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝔼(f(X_{t+h})|X_t=x)-f(x)}{h}$

이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.

$(D(t)f{)}^i(x)=Y^j(t){\partial }_j{f}^i+\frac{1}{2}{Z}_j^l{Z}_k^l(t){\partial }_j{\partial }_k{f}^i(t)$

이 경우,

$D(t)p(x,t)={\partial }_{t}p(x,t)$

와 같은 편미분 방정식을 포커르-플랑크 방정식이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수

$\mathrm{Pr}(X_t\in S)=\underset{S}{\int }p(x,t)\mathrm{d}x$

는 이 편미분 방정식을 따른다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드