편미분 방정식

수학에서 편미분 방정식(偏微分方程式, 틀:Llang, 약자 PDE)은 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리나 열의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다. 틀:포털

정의

$M$과 $N$이 매끄러운 다양체라고 하자. 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식이다.

$F(x,u,{\mathrm{\nabla }}_{i}u,{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}u,\dots ,{\mathrm{\nabla }}_{i_1}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{i_k}u)=0$

$x\in M,u:M\to N$

여기서 미분 연산자의 최고 계수 $k$를 편미분 방정식의 계수(틀:Llang)라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 $k$계 편미분 방정식이라고 한다. 만약 다양체 $N$이 2차원 이상이라면 이를 연립 편미분 방정식이라고 하며, 만약 $N$이 1차원이라면 비연립 편미분 방정식이라고 한다.

분류

1계 편미분 방정식

1계 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

$F(x,u,\partial u/\partial x)=0(x\in M,u(x)\in ℝ)$

여기서 $u_{x_i}=\partial u/\partial x_i$이다. 이 경우, 임의의 해 $u(s)=u(x^i(s))$는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다.

$\frac{{\dot{x}}_i}{\partial F/\partial (\partial u/\partial x_i)}=-\frac{1}{\partial F/\partial x_i+(\partial u/\partial x^i)\partial F/\partial u}{\dot{p}}^i=\frac{\dot{u}}{\sum _i{p}_i(\partial F/\partial p_i)}$

따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

2계 편미분 방정식

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반적인 (비연립) 2계 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

$Q({\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}u,x)+F({\mathrm{\nabla }}_{i}u,u,x)=0(x\in M,u(x)\in ℝ)$

따라서, $Q:M\to {\mathrm{Sym}}^{2}TM$는 $M$의 각 점에 실수 이차 형식을 정의한다. 이는 실베스터 관성법칙에 따라 이차 형식의 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 $x\in M$에서

• 만약 $Q_x$의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2계 편미분 방정식이 타원형 편미분 방정식(틀:Llang)이라고 한다.
  • 라플라스 방정식 $u_{yy}+u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.
• 만약 $Q_x$의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2계 편미분 방정식이 포물형 편미분 방정식(틀:Llang)이라고 한다.
  • 열 방정식 $u_t-u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.
• 만약 $Q_x$가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2계 편미분 방정식이 쌍곡형 편미분 방정식(틀:Llang)이라고 한다.
  • 파동 방정식 $u_{tt}-u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.

타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.

선형 편미분 방정식

매끄러운 다양체 $M$에서 벡터 공간 $V$로 가는 함수 $u:M\to V$에 대한 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

$c_0(x)u(x)+c_1^i(x){\mathrm{\nabla }}_{i}u(x)+c_2^{ij}(x){\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}u(x)+\cdots +c_k^{i_1\cdots i_k}(x){\mathrm{\nabla }}_{i_1}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{i_k}u(x)=0$

이는 $M$ 위의, $V$값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,V)$ 위에 정의된 선형작용소의 고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해 $u(x)$는 선형작용소

$T=c_0(x)+c_1^i(x){\mathrm{\nabla }}_i+\cdots +c_k^{i_1\cdots i_k}(x){\mathrm{\nabla }}_{i_1}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{i_k}$

에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학과 작용소 이론을 적용할 수 있다.

예

• 열 방정식
• 파동 방정식
• 전신 방정식
• 슈뢰딩거 방정식
• 라플라스 방정식
• 푸아송 방정식
• 헬름홀츠 방정식
• 맥스웰 방정식
• 런던 방정식
• 연속 방정식
• 라그랑주 방정식
• 해밀턴 방정식
• 해밀턴-야코비 방정식
• 나비에 스토크스 방정식

같이 보기

• 열 방정식
• 파동 방정식
• 라플라스 방정식
• 헬름홀츠 방정식
• 클라인-고든 방정식
• 푸아송 방정식
• 나비에-스토크스 방정식
• 버거스 방정식
• 디리클레 경계 조건
• 노이만 경계 조건
• 점화식

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
  • 틀:Eom
  • 틀:Eom
  • 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
  • 틀:Eom
    • 틀:Eom
  • 틀:Eom
    • 틀:Eom
  • 틀:Eom
    • 틀:Eom
• 틀:매스월드