이차 방정식

이차방정식(二次方程式, 틀:Llang)은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. ' $x$ 에 대한 이차식=0' 꼴로 나타내는 방정식을 $x$ 에 대한 이차방정식이라고 한다. $x$ 에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0

와 같고, 여기서 $x$ 는 변수, $a$ 와 $b$ 는 각각 $x^{2}, x$ 의 계수라고 하며, $c$ 는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 $a x^{2}$ 에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

이차 방정식의 근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

a x^{2} + b x + c = 0

, 단,

a

,

b

,

c

는 실수이고

a \neq 0

일 때, 이 방정식의 두 해

x_{1}

,

x_{2}

는

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.

x_{1, 2} = \frac{2 c}{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}

, 단

c \neq 0

일 경우에만 성립한다.^[1]

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 $b^{2} - 4 a c$ 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 $D$ 로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 $\sqrt{}$ 안의 수, 즉 $b^{2} - 4 a c$ 는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 $\pm \sqrt{}$ 가 살아있는 $2$ 개의 값이 되고, 루트의 내부가 $0$ 이면 루트는 없어짐으로 $1$ 개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수 $\sqrt{- 1}$ 의 $i$ 가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 $0$ 이면 루트는 없어짐으로 $1$ 개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{0}}{2 a} = - \frac{b}{2 a}

따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고, 따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은 $- \frac{b}{2 a}$ 가 된다.

근의 공식의 유도

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

$a x^{2} + b x + c = 0$ 에서, $a$ 는 $0$ 이 아니므로 양변을 $a$ 로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항 $x^{2}$ 의 계수를 $1$ 로 만든다.

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

일차항 $x$ 의 계수를 $2$ 로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{- 4 a^{2} c + a b^{2}}{4 a^{3}} = \frac{- 4 a c + b^{2}}{4 a^{2}}

제곱근을 취하면

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

(단,

a \neq 0

)

가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 $D = b^{2} - 4 a c$ 가 $0$ 일때, 즉
$b^{2} - 4 a c = 0$ 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

$D = {(\frac{b}{a})}^{2} - 4 {(\frac{b}{2 a})}^{2} = 0$

짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 $b$ 가 짝수인 경우 $b^{'} = \frac{b}{2}$ 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b'^{2} - a c}}{a}

근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이

이차 방정식 $x^{2} + x - 1 = 0$ 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식 $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} + 4}}{2}$
$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 이다.

차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( $n$ 차항)의 $x$ 의 계수, $a$ 로 나눈 다음 $x = y - \frac{b}{𝐧 a}$ 의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식

a x^{2} + b x + c = 0

은 다음의 꼴로 정리되고,

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

그리고

y^{2} + p = 0

의 꼴로 정리해서,

x = y - \frac{b}{𝐧 a}

로 다시 정리하면 되겠다.

따라서,

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0, x = y - \frac{b}{𝟐 a}

{(y - \frac{b}{𝟐 a})}^{2} + \frac{b}{a} (y - \frac{b}{𝟐 a}) + \frac{c}{a} = 0

우선, ${(y - \frac{b}{𝟐 a})}^{2} = (y - \frac{b}{𝟐 a}) (y - \frac{b}{𝟐 a}) = (y^{2} - \frac{b}{2 a} y - \frac{b}{2 a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2})$

= (y^{2} - 2 \frac{b}{2 a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2}) = (y^{2} - \frac{b}{a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2})

따라서,

(y^{2} - \frac{b}{a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2}) + \frac{b}{a} (y - \frac{b}{𝟐 a}) + \frac{c}{a} = 0

(y^{2} - \frac{b}{a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2}) + (\frac{b}{a} y - \frac{b}{a} \frac{b}{𝟐 a}) + \frac{c}{a} = 0

(y^{2} - \frac{b}{a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2}) + (\frac{b}{a} y - \frac{b^{2}}{𝟐 a^{2}}) + \frac{c}{a} = 0

y^{2} - \frac{b}{a} y + {(\frac{b}{𝟐 a})}^{2} + \frac{b}{a} y - \frac{b^{2}}{𝟐 a^{2}} + \frac{c}{a} = 0

y^{2} + (\frac{1}{4} {(\frac{b}{a})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{b}{a})}^{2}) + \frac{c}{a} = 0

y^{2} - \frac{1}{4} {(\frac{b}{a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0

y^{2} - (\frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + \frac{c}{a} = 0

y^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}

y^{2} = \frac{a b^{2} - 4 a^{2} c}{4 a^{3}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

\sqrt{y^{2}} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

y = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x = y - \frac{b}{𝐧 a}

에서,

x = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} - \frac{b}{2 a}

x = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b}{2 a}

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은 $y^{2}$ 이다.

이러한 $\frac{b}{𝐧 a}$ 값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.

근과 계수의 관계

틀:참고

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1

$a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두 근 $α, β$ 를 각각

$α = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$β = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

$α + β = \frac{- b - b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$α + β = \frac{- 2 b}{2 a}$

$∴ α + β = - \frac{b}{a}$

$α β = \frac{b^{2} - (\sqrt{b^{2} - 4 a c})^{2}}{(2 a)^{2}}$

$α β = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}}$

$α β = \frac{4 a c}{4 a^{2}}$

$∴ α β = \frac{c}{a}$

$| α - β | = | \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} + b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} |$

$| α - β | = | \frac{2 \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} |$

$∴ | α - β | = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{| a |}$

단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

$a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두근 을 각 $α, β$ 라고 정의하고

$α, β$ 을 근으로 갖는 이차방정식을 $(x - α) (x - β) = 0$ 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 $a$ (단, $a$ 는 $0$ 이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

$a x^{2} + b x + c = 0 ⟺ a (x - α) (x - β) = 0$

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 $a (x - α) (x - β) = 0$ 의 계수를 나누고 전개해주면

$x^{2} + (- α - β) x + α β$ - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 $a x^{2} + b x + c = 0$ 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 $a x^{2}$ 의 계수 $a$ 로 나눠주면

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

$- α - β = \frac{b}{a}, - (α + β) = \frac{b}{a}$

$∴ α + β = - \frac{b}{a}$

$∴ α β = \frac{c}{a}$

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.

같이 보기

각주

틀:각주

외부 링크

틀:포털

틀:위키공용분류-줄

틀:전거 통제

↑ 물론, 이차방정식이므로 $a \neq 0$ 도 만족해야 한다.

[1] 물론, 이차방정식이므로 $a \neq 0$ 도 만족해야 한다.

[1]

이차 방정식

목차

이차 방정식의 근의 공식

근의 공식의 유도

짝수 공식

근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이

차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도

근과 계수의 관계

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

같이 보기

각주

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근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이

차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도

근과 계수의 관계

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2

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