오차 방정식

네 개의 임계점을 가지는 오차함수의 그래프

오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0,a\ne 0$

와 같다. 여기에서 $a,b,c,d,e$는 각각 $x^5,x^4,x^3,x^2,x$의 계수라고 한다. 또한 $f$는 상수항이라고 부른다.

그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.

오차방정식의 근

갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

근과 계수와의 관계

틀:참고 오차방정식 $a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$의 다섯 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ$라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )(x-ϵ)=0$

$x^5-(\alpha +\beta +\gamma +\delta +ϵ)x^4+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha ϵ+\beta \gamma +\beta \delta +\beta ϵ+\gamma \delta +\gamma ϵ+\delta ϵ)x^3$

$-(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta ϵ+\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma ϵ+\alpha \delta ϵ+\beta \gamma \delta +\beta \gamma ϵ+\beta \delta ϵ+\gamma \delta ϵ)x^2$

$+(\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma ϵ+\alpha \beta \delta ϵ+\alpha \gamma \delta ϵ+\beta \gamma \delta ϵ)x-\alpha \beta \gamma \delta ϵ=0$

또한,

$\alpha +\beta +\gamma +\delta +ϵ=-\frac{b}{a}$

$\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha ϵ+\beta \gamma +\beta \delta +\beta ϵ+\gamma \delta +\gamma ϵ+\delta ϵ=\frac{c}{a}$

$\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta ϵ+\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma ϵ+\alpha \delta ϵ+\beta \delta ϵ+\beta \delta \gamma +\beta \gamma ϵ+\gamma \delta ϵ=-\frac{d}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma ϵ+\alpha \beta \delta ϵ+\alpha \gamma \delta ϵ+\beta \gamma \delta ϵ=\frac{e}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta ϵ=-\frac{f}{a}$ 의 관계가 있다.

특히 각 항($x^5,x^4,x^3,x^2,x,f$)에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ$라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{5!}{1!\cdot (5-1)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1!\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}=\frac{5}{1}=5$

2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2!\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\frac{20}{2}=10$

3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\frac{20}{2}=10$

4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{5!}{4!\cdot (5-4)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4!\cdot (1)}=\frac{5}{1}=5$이다.

5개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{5!}{5!\cdot (5-5)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5!\cdot 0!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{120}=1$이다.

차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항($n$차항)의 $x$의 계수, $a$로 나눈 다음 $x=y-\frac{b}{𝐧a}$의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.

이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다. 먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

$x^5+\frac{b}{a}{x}^4+\frac{c}{a}{x}^3+\frac{d}{a}{x}^2+\frac{e}{a}x+\frac{f}{a}=0$

그리고 y로 치환한다.

$x=y-\frac{b}{\mathrm{𝟓}a}$

그러면, 방정식은

$y^5+p{y}^3+q{y}^2+ry+s=0$

의 꼴로 정리된다. 여기서 $p,q,r,s$는 다음과 같다.

$p=\frac{-2b^2+5ac}{5a^2}$ $q=\frac{4b^3-15abc+25a^{2}d}{25a^3}$ $r=\frac{-3b^4+15a{b}^{2}c-50a^{2}bd+125a^{3}e}{125a^4}$ $s=\frac{625a^{3}be+4b^5-25a{b}^{3}c+125a^2{b}^{2}d+3125a^{5}f}{3125a^5}$

일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들

상반방정식 5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식 장제법으로 $(x\pm a)$의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) :$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ 이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 $-1$임을 알아야 한다. $-1$이 나올 수 있는 인수는 $(x+1)$이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은

$a{x}^4+(-a+b)x^3+(a-b+c)x^2+(-a+b)x+a=0$

가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

이항방정식

$x^5\pm a=0$의 꼴은 이항방정식으로 $a$와 근의 계수 $\omega$를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.

오차방정식의 판별식

오차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$을

$a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0=0$으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 $M=(2n-1)\cdot (2n-1)$

$M=\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0& 0& 0\\ 0& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0& 0\\ 0& 0& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0\\ 0& 0& 0& a_5& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ 5a_5& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0& 0& 0& 0\\ 0& 5a_5& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0& 0& 0\\ 0& 0& 5a_5& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0& 0\\ 0a_0& 0& 0& 5a_5& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0\\ 0& 0a_0& 0& 0& 5a_5& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1\end{array}\right]$

$D=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_n^{-1}M$

$D=(-1{)}^{\frac{5(5-1)}{2}}{a}_5^{-1}M$

$D=(-1{)}^{\frac{20}{2}}{a}_5^{-1}M$

$D=(-1{)}^{10}{a}_5^{-1}M$

브링-제라드 형태

오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다:

$x^5+\frac{5{\mu }^4(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}x=\frac{4{\mu }^5(2\nu +1)(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}$

그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다:

$x=\frac{2\mu \sqrt{20\nu +15}}{5\sqrt[4]{{\nu }^2+1}}\cosh \left\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\right[\frac{125\sqrt[4]{{\nu }^2+1}(2\sqrt{{\nu }^2+1}+2\nu -1)}{(20\nu +15{)}^{3/2}}\left]\right\}-$

$-\frac{2\mu \sqrt{20\nu +15}}{5\sqrt[4]{{\nu }^2+1}}\sinh \left\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\right[\frac{125\sqrt[4]{{\nu }^2+1}(2\sqrt{{\nu }^2+1}-2\nu +1)}{(20\nu +15{)}^{3/2}}\left]\right\}$

이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다:

$x^5+15x=12$

$x=\frac{2}{5}\sqrt{15}\cosh [\frac{1}{5}\text{arcosh}(\frac{5}{9}\sqrt{15})]-\frac{2}{5}\sqrt{15}\sinh [\frac{1}{5}\text{arsinh}(\frac{5}{3}\sqrt{15})]$

매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다:

$x^5+x=\frac{2}{5}{y}^{-5/4}\frac{(1+y-y^2)\sqrt{2+2y^2}}{\sqrt[4]{10+15y-10y^2}}$

$x=\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\cosh \left\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\right[\frac{5\sqrt{5+5y^2}}{(1+2y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}-$

$-\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\sinh \left\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\right[\frac{5y\sqrt{5+5y^2}}{(2-y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}$

이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.

모듈러 타원 함수를 통한 해결책

다음에서 이 방정식을 일반화한다:

$x^5+x=w$

$x=\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\cosh \left\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\right[\frac{5\sqrt{5+5y^2}}{(1+2y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}-$

$-\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\sinh \left\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\right[\frac{5y\sqrt{5+5y^2}}{(2-y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}$

$y=\frac{5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5{⟩}^2}{2{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2}-\frac{1}{2}$

이 공식은 아래에 설명되어 있다.

위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다:

$w=\frac{2}{5}{y}^{-5/4}\frac{(1+y-y^2)\sqrt{2+2y^2}}{\sqrt[4]{10+15y-10y^2}}$

방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다:

$(\frac{2y^5-y^6}{1+2y}{)}^{1/2}=\sqrt{\frac{3125}{256}{w}^4+1}-\frac{25}{16}\sqrt{5}{w}^2$

$(\frac{2y^5-y^6}{1+2y}{)}^{1/2}=\sin \{2\arcsin \left[\right(50\sqrt{5}{w}^2+32+2\sqrt{3125w^4+256}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{3125w^4+256}+16}+5\sqrt[4]{5}w)\left]\right\}$

$y=\frac{5{\vartheta }_{00}\left\{q\right[(50\sqrt{5}{w}^2+32+2\sqrt{3125w^4+256}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{3125w^4+256}+16}+5\sqrt[4]{5}w){]}^5{\}}^2}{2{\vartheta }_{00}\left\{q\right[(50\sqrt{5}{w}^2+32+2\sqrt{3125w^4+256}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{3125w^4+256}+16}+5\sqrt[4]{5}w\left)\right]{\}}^2}-\frac{1}{2}$$y=\frac{5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5{⟩}^2}{2{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2}-\frac{1}{2}$

그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수를 나타낸다:

${\vartheta }_{00}(z)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^{k^2}$

${\vartheta }_{00}(z)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-z^{2k})(1+z^{2k-1}{)}^2$

놈 함수는 문자 q로 표시된다:

$q(\epsilon )=\exp [-\pi K(\sqrt{1-{\epsilon }^2})K(\epsilon {)}^{-1}]$

문자 K는 제1종 완전 타원 적분을 나타낸다:

$K(r)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin (\phi {)}^2}}\mathrm{d}\phi$

약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트(lemniscate) 함수가 표시된다:

$\mathrm{s}\mathrm{l}(\phi )=\tan ⟨2\arctan \{\frac{4}{G}\sin (\frac{\phi }{G}\left)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh [(2k-1)\pi ]}{\cosh [(2k-1)\pi {]}^2-\cos (\phi /G{)}^2}\right\}⟩$

$\mathrm{c}\mathrm{l}(\phi )=\tan ⟨2\arctan \{\frac{4}{G}\cos (\frac{\phi }{G}\left)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh [(2k-1)\pi ]}{\cosh [(2k-1)\pi {]}^2-\sin (\phi /G{)}^2}\right\}⟩$

$[\text{sl}(\phi {)}^2+1][\text{cl}(\phi {)}^2+1]=2$

$\text{ctlh}(\varrho )=\mathrm{cl}(\frac{1}{2}\sqrt{2}\varrho )[\frac{\mathrm{sl}(\frac{1}{2}\sqrt{2}\varrho {)}^2+1}{\mathrm{sl}(\frac{1}{2}\sqrt{2}\varrho {)}^2+\mathrm{cl}(\frac{1}{2}\sqrt{2}\varrho {)}^2}{]}^{1/2}$

$\text{aclh}(s)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\pi G-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{s}{\sqrt{s^4{t}^4+1}}\mathrm{d}t$

$G=\frac{1}{2}\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}{)}^{-2}$

$\text{ctlh}[\frac{1}{2}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{h}(s){]}^2=(2s^2+2+2\sqrt{s^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{s^4+1}+1}+s)$

$\text{sl}[\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{h}(s)]=\sqrt{\sqrt{s^4+1}-s^2}$

문자 G는 가우스 상수를 나타낸다.

로저스 라마누잔 연속 분수

로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는 다음과 같이 정의된다:

$R(z)=z^{1/5}\frac{(z;z^5{)}_{\mathrm{\infty }}(z^4;z^5{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z^2;z^5{)}_{\mathrm{\infty }}(z^3;z^5{)}_{\mathrm{\infty }}}$

두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다.

$R(z)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [\frac{{\vartheta }_{00}(z^{1/2}{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^{5/2}{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{2/5}\tan \{\frac{1}{2}\mathrm{arccot}[\frac{{\vartheta }_{00}(z^{1/2}{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^{5/2}{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{1/5}$

$R(z^2)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [\frac{{\vartheta }_{00}(z{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^5{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{2/5}\tan \{\frac{1}{2}\mathrm{arccot}[\frac{{\vartheta }_{00}(z{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^5{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{1/5}$

$S(z)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [\frac{{\vartheta }_{00}(z{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^5{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{1/5}\cot \{\frac{1}{2}\mathrm{arccot}[\frac{{\vartheta }_{00}(z{)}^2}{2{\vartheta }_{00}(z^5{)}^2}-\frac{1}{2}]{\}}^{2/5}$

$S(z)=\frac{R(z^4)}{R(z^2)R(z)}$

이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다:

$x^5+x=w$

$x=\frac{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^2⟩}{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2}\times$

$\times \frac{1-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^2⟩S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}⟩}{R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^2{⟩}^2}\times$

$\times \frac{{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5⟩{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^{1/5}{⟩}^2-5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5{⟩}^3}{2\sqrt[4]{20}\text{sl}[\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w)]{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^3}$

첫 번째 계산 예:

$x^5+x=3$

$x=\frac{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^2-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2⟩}{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^2}\times$

$\times \frac{1-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2⟩S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}⟩}{R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2{⟩}^2}\times$

$\times \frac{{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^5⟩{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^{1/5}{⟩}^2-5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^5{⟩}^3}{2\sqrt[4]{20}\text{sl}[\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5})]{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^3}$$q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{15}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}\approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909$

$x\approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727$

두 번째 계산 예:

$x^5+x=7$

$x=\frac{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^2-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2⟩}{S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^2}\times$

$\times \frac{1-R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2⟩S⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}⟩}{R⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^2{⟩}^2}\times$

$\times \frac{{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^5⟩{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^{1/5}{⟩}^2-5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2{\}}^5{⟩}^3}{2\sqrt[4]{20}\text{sl}[\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5})]{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}{⟩}^3}$$q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{35}{4}\sqrt[4]{5}){]}^2\}\approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236$

$x\approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989$

같이 보기

• 일차 방정식
• 이차 방정식
• 삼차 방정식
• 사차 방정식
• 육차 방정식
• 칠차 방정식
• 상반방정식