비에트 정리

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 비에트 정리(틀:Llang) 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트에 의해 공식이 증명되었다.

정의

음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $n$차 복소수 다항식

$p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0\in ℂ[x](a_i\in ℂ,a_n\ne 0)$

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) $n$개의 영점 $x_1,\dots ,x_n\in ℂ$를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각 $k\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, 영점 $x_1,\dots ,x_n$을 $k$차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은 $(-1{)}^k{a}_{n-k}/a_n$과 같다.

$\sum _{i\in \{1,\dots ,n{\}}^k}^{i_1<i_2<\cdots <i_k}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

즉, 다음 $n$개의 등식이 성립한다.

$x_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$

$⋮$

$(x_1\cdots x_{n-1})+(x_1\cdots x_{n-2}{x}_n)+\cdots +(x_2\cdots x_n)=(-1{)}^{n-1}\frac{a_1}{a_n}$

$x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$

증명

다음 등식 양끝의 다항식의 각 $x^k$의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

$\begin{array}{cc}& a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0\\ =& p(x)\\ =& a_n(x-x_1)\cdots (x-x_n)\\ =& a_n(x^n-(x_1+\cdots +x_n)x^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n{x}_1\cdots x_n)\end{array}$

예

일차 방정식

(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

$ax+b=0$

은 유일한 복소수 해

$x_1=-\frac{b}{a}$

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

이차 방정식

(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

$a{x}^2+bx+c=0$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 $x_1,x_2$라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

삼차 방정식

(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 $x_1,x_2,x_3$이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$

$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$

사차 방정식

(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 $x_1,x_2,x_3,x_4$라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=\frac{c}{a}$

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-\frac{d}{a}$

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{e}{a}$

역사

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다. 알베르 지라르(틀:Llang)가 일반적인 경우를 증명하였다.

같이 보기

• 데카르트 부호 법칙
• 뉴턴 항등식
• 가우스-뤼카 정리
• 유리근 정리
• 대칭 다항식

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스