칠차 방정식

칠차 방정식(틀:Lang)은 최고차항의 차수가 7인 다항 방정식을 뜻한다.

따라서 칠차방정식은 기수차 방정식이다.

$a{x}^7+b{x}^6+c{x}^5+d{x}^4+e{x}^3+f{x}^2+gx+h=0,a\ne 0$

칠차방정식의 판별식

소행렬식의 라플라스 전개로 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 칠차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

근과 계수와의 관계

$a{x}^7+b{x}^6+c{x}^5+d{x}^4+e{x}^3+f{x}^2+gx+h=0,a\ne 0$에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

칠차방정식에 존재하는 7개의 근을 예약하여, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ,\zeta ,\eta$라고 하면, 1개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{1!\cdot (7-1)!}=\frac{7\cdot \cancel{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{1!\cdot \cancel{(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}=\frac{7}{1}=7$

2개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{2!\cdot (7-2)!}=\frac{7\cdot 6\cdot \cancel{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{2!\cdot \cancel{(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$

3개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{3!\cdot (7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \cancel{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{3!\cdot \cancel{(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{210}{6}=35$

4개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{4!\cdot (7-4)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot \cancel{3\cdot 2\cdot 1}}{4!\cdot \cancel{(3\cdot 2\cdot 1)}}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \cancel{4}}{\cancel{4}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{210}{6}=35$이다.

5개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{5!\cdot (7-5)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot \cancel{2\cdot 1}}{5!\cancel{\cdot (2\cdot 1)}}=\frac{7\cdot 6\cdot \cancel{5\cdot 4\cdot 3}}{\cancel{5\cdot 4\cdot 3\cdot }2\cdot 1}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$이다.

6개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{6!\cdot (7-6)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cancel{\cdot 1}}{6!\cdot \cancel{(1)}}=\frac{7\cdot \cancel{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{\cancel{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot 1}=\frac{7}{1}=7$이다.

7개씩 출현하는 조합의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{7!}{7!\cdot (7-7)!}=\frac{7!}{7!\cdot 0!}=\frac{1}{1}=1$이된다.

칠차방정식의 근의 정보에 대한 접근

$a{x}^7+b{x}^6+c{x}^5+d{x}^4+e{x}^3+f{x}^2+gx+h=0$

$x^7+\frac{b}{a}{x}^6+\frac{c}{a}{x}^5+\frac{d}{a}{x}^4+\frac{e}{a}{x}^3+\frac{f}{a}{x}^2+\frac{g}{a}x+\frac{h}{a}=0,$

$x=y-\frac{b}{\mathrm{𝟕}a}$ (zipping) 취른하우스 변형

$y^7+p{y}^5+q{y}^4+r{y}^3+s{y}^2+ty+u=0$

같이 보기

• 일차 방정식
• 이차 방정식
• 삼차 방정식
• 사차 방정식
• 오차 방정식
• 육차 방정식