육차 방정식

육차 방정식(틀:Lang)은 최고차항의 차수가 6인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

$a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0,a\ne 0$

와 같다. 여기에서 $a,b,c,d,e,f$는 각각 $x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x$의 계수라고 한다. $g$는 상수항이다.

또한 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 할 때, 육차방정식은 우수차 방정식이다.

육차 방정식의 근

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 육차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 아벨과 갈루아는 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 5차 이상의 방정식에서는 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 즉, 그 근(해)을 임의의 계수들을 가지고서는 유한번의 사칙연산과 제곱근 연산으로 표현할 수 없다는 것이다. 여기에 대한 아벨과 루피니의 증명은 아벨-루피니 정리이다.

일반적인 해법이 있는 특수 육차 방정식들

복(複) 삼차방정식

육차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복삼차방정식(Bicubic equations)이라고 한다.

$x^2=X$으로 치환해 삼차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

$a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d=0,X=x^2$

$a{X}^3+b{X}^2+cX+d=0$

상반방정식

$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$

$x^{\frac{n}{2}}$항으로 치환하여 대입하면,

$\frac{x^6}{x^3}+\frac{x^5}{x^3}+\frac{x^4}{x^3}+\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}+\frac{x}{x^3}+\frac{1}{x^3}=0$

$x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$

$(x^3+\frac{1}{x^3})+(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})+1=0$

$x+\frac{1}{x}=z$ 치환하면,

$z^3+z^2-2z-1=0$이것으로 삼차방정식으로 풀면 3개의 근을 구하고,

$z=x+\frac{1}{x}$다시 치환하면, 6차 방정식의 근을 구하게 된다.

$\frac{x^2+1}{x}=z$

$x^2+1=zx$

$x^2-zx+1=0$

이것으로 이차방정식을 풀면, 각각 2개씩의 근, 즉 총 6개의 근을 구하게 된다.

이항방정식

$x^6\pm a=0$의 꼴은 이항방정식으로 $a$와 근의 계수 $\omega$를 찾아 6개의 근을 구할 수 있다.

특수한 근

$x^6=x^2+2x+1$

$x^6=x^4+x+1$

다음의 육차 방정식들은

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}=1.324717957244746025960908854...$

플라스틱 수가 해이다.

육차방정식의 판별식

육차 방정식의 판별식은 246개항으로 이루어져 있다.

소행렬식의 라플라스 전개로 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 육차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

근과 계수와의 관계

틀:참고 6차방정식 $a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0$의 6개의 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ,\zeta$라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )(x-ϵ)(x-\zeta )=0$

$x^6-(\alpha +\beta +\gamma +\delta +ϵ+\zeta )x^5+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha ϵ+\alpha \zeta +\beta \gamma +\beta \delta +\beta ϵ+\beta \zeta +\gamma \delta +\gamma ϵ+\gamma \zeta +\delta ϵ+\delta \zeta +ϵ\zeta )x^4$

$-(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta ϵ+\alpha \beta \zeta +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma ϵ+\alpha \gamma \zeta +\alpha \delta ϵ+\alpha \delta \zeta +\alpha ϵ\zeta +\beta \gamma \delta +\beta \gamma ϵ+\beta \gamma \zeta +\beta ϵ\zeta +\beta \delta ϵ+\beta \delta \zeta +\gamma \delta ϵ+\gamma \delta \zeta +\gamma ϵ\zeta +\delta ϵ\zeta )x^3$

$+(\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma ϵ+\alpha \beta \gamma \zeta +\alpha \beta \delta ϵ+\alpha \beta \delta \zeta +\alpha \beta ϵ\zeta +\alpha \gamma \delta ϵ+\alpha \gamma \delta \zeta +\alpha \gamma ϵ\zeta +\alpha \delta ϵ\zeta +\beta \gamma \delta ϵ+\beta \gamma \delta \zeta +\beta \gamma ϵ\zeta +\beta \delta ϵ\zeta +\gamma \delta ϵ\zeta )x^2$

$-(\alpha \beta \gamma \delta ϵ+\alpha \beta \gamma \delta \zeta +\alpha \beta \gamma ϵ\zeta +\alpha \beta \delta ϵ\zeta +\alpha \gamma \delta ϵ\zeta +\beta \gamma \delta ϵ\zeta )x+\alpha \beta \gamma \delta ϵ\zeta =0$

이어서,

$\alpha +\beta +\gamma +\delta +ϵ+\zeta =-\frac{b}{a}$

$\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha ϵ+\alpha \zeta +\beta \gamma +\beta \delta +\beta ϵ+\beta \zeta +\gamma \delta +\gamma ϵ+\gamma \zeta +\delta ϵ+\delta \zeta +ϵ\zeta =\frac{c}{a}$

$\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta ϵ+\alpha \beta \zeta +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma ϵ+\alpha \gamma \zeta +\alpha \delta ϵ+\alpha \delta \zeta +\alpha ϵ\zeta +\beta \gamma \delta +\beta \gamma ϵ+\beta \gamma \zeta +\beta ϵ\zeta +\beta \delta ϵ+\beta \delta \zeta +\gamma \delta ϵ+\gamma \delta \zeta +\gamma ϵ\zeta +\delta ϵ\zeta =-\frac{d}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma ϵ+\alpha \beta \gamma \zeta +\alpha \beta \delta ϵ+\alpha \beta \delta \zeta +\alpha \beta ϵ\zeta +\alpha \gamma \delta ϵ+\alpha \gamma \delta \zeta +\alpha \gamma ϵ\zeta +\alpha \delta ϵ\zeta +\beta \gamma \delta ϵ+\beta \gamma \delta \zeta +\beta \gamma ϵ\zeta +\beta \delta ϵ\zeta +\gamma \delta ϵ\zeta =\frac{e}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta ϵ+\alpha \beta \gamma \delta \zeta +\alpha \beta \gamma ϵ\zeta +\alpha \beta \delta ϵ\zeta +\alpha \gamma \delta ϵ\zeta +\beta \gamma \delta ϵ\zeta =-\frac{f}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta ϵ\zeta =\frac{g}{a}$의 관계가 있다.

특히 각 항($x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,g$)에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

6차방정식에 존재하는 6개의 근을 예약하여, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ,\zeta$라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{1!\cdot (6-1)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1!\cdot (5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}=\frac{6}{1}=6$

2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2!\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15$

3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3!\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}=20$

4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15$이다.

5개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{5!\cdot (6-5)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5!\cdot (1)}=\frac{6}{1}=6$이다.

6개씩의 조합의 경우의 수는 ,

$\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{6!}{6!\cdot (6-6)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6!\cdot 0!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{720}{720}=1$이다.

차고차항 압축 정리 (취른하우스 변형)

$a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0$

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( $n$차항)의 $x$의 계수, $a$로 나눈 다음 $x=y-\frac{b}{𝐧a}$의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

위의 육차 방정식은 다음의 꼴로 정리되겠다. $x^6+\frac{b}{a}{x}^5+\frac{c}{a}{x}^4+\frac{d}{a}{x}^3+\frac{e}{a}{x}^2+\frac{f}{a}x+\frac{g}{a}=0,x=y-\frac{b}{\mathrm{𝟔}a}$ 그리고, 치환하면,

$y^6+p{y}^4+q{y}^3+r{y}^2+sy+t=0$의 꼴로 정리되겠다.

여기서 이렇게 압축해서 정리하면 $p,q,r,s,t$계수는 다음과 같다.

$p=\left(\frac{-5b^2+12ac}{12a^2}\right)$

$q=\left(\frac{5b^3-18abc+27a^{2}d}{27a^3}\right)$

$r=\left(\frac{-11b^4+72ac{b}^2-216a^{2}db+432ae}{432a^4}\right)$

$s=\left(\frac{-c{b}^3+9ad{b}^2-36a^{2}eb+54af}{54a^4}\right)$

$t=\left(\frac{14b^6+1ac{b}^4+6a^{2}d{b}^3+36a^{5}e{b}^2-7776a^{6}fb+1296a^{5}g}{1296a^6}\right)$

여기서 이처럼 오차항이 사라지는 것은 없어진것이 아니라 나머지 다른 항들에게로 자신의 정보들이 나뉘어서 저장된 것이므로 다른 항들을 압축정리하려고 하면 오차항은 다시 나타나게 된다.

이것은 마치 육차항의 계수가 없어진것이 아니라 나머지 항들에게로 자신의 정보를 나누어주고 사라진 것과 같다.

따라서 취른하우스 변형(Tschirnhaus transformation)정리(차 고차항 압축 정리)는 차고차항 뿐만 아니라 다른 임의의 항들을 $1$개 압축할 수도 있다.

6차방정식의 근의 정보에 대한 접근

$a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0$

$x^6+\frac{b}{a}{x}^5+\frac{c}{a}{x}^4+\frac{d}{a}{x}^3+\frac{e}{a}{x}^2+\frac{f}{a}x+\frac{g}{a}=0,$

$x=y-\frac{b}{\mathrm{𝟔}a}$ (zipping)

$y^6+p{y}^4+q{y}^3+r{y}^2+sy+t=0$

$p=\left(\frac{-5b^2+12ac}{12a^2}\right)$

$q=\left(\frac{5b^3-18abc+27a^{2}d}{27a^3}\right)$

$r=\left(\frac{-11b^4+72ac{b}^2-216a^{2}db+432ae}{432a^4}\right)$

$s=\left(\frac{-c{b}^3+9ad{b}^2-36a^{2}eb+54af}{54a^4}\right)$

$t=\left(\frac{14b^6+1ac{b}^4+6a^{2}d{b}^3+36a^{5}e{b}^2-7776a^{6}fb+1296a^{5}g}{1296a^6}\right)$

이어서,

${(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})}^2=(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})=r{y}^2+\frac{\sqrt{r}sy}{2\sqrt{r}}+\frac{\sqrt{r}sy}{2\sqrt{r}}+{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2=r{y}^2+2\frac{\sqrt{r}sy}{2\sqrt{r}}+{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2$

$=r{y}^2+\cancel{2}\frac{\cancel{\sqrt{r}}sy}{\cancel{2\sqrt{r}}}+{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2$

$=r{y}^2+sy+{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2$

${\displaystyle }$

${(y^3+\frac{q}{2})}^2=y^6+\frac{q{y}^3}{2}+\frac{q{y}^3}{2}+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=y^6+2\frac{q{y}^3}{2}+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=y^6+\cancel{2}\frac{q{y}^3}{\cancel{2}}+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2$

$=y^6+q{y}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2$

$\therefore {(y^3+\frac{q}{2})}^2+p{y}^4+{(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})}^2+t-{\left(\frac{q}{2}\right)}^2-{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2=0$

${(y^3+\frac{q}{2})}^2+(\sqrt{p}{y}^2{)}^2+{(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})}^2+(\sqrt{t}{)}^2-{\left(\frac{q}{2}\right)}^2-{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2=0$

${(y^3+\frac{q}{2})}^2=A^2,(\sqrt{p}{y}^2{)}^2=B^2,{(\sqrt{r}y+\frac{s}{2\sqrt{r}})}^2=C^2,(\sqrt{t}{)}^2=D^2,{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=E^2,{\left(\frac{s}{2\sqrt{r}}\right)}^2=F^2$

$\therefore A^2+B^2+C^2+D^2-E^2-F^2=0$

$A^2+B^2+C^2=-D^2+E^2+F^2$

${\displaystyle }$

같이 보기

• 일차 방정식
• 이차 방정식
• 삼차 방정식
• 사차 방정식
• 오차 방정식
• 칠차 방정식