일차 함수

일차 함수 그래프의 예시

수학에서 일차 함수(一次函數, 틀:Llang)는 최고 차항의 차수가 1인 다항 함수이다. 즉, 그래프가 직선인 함수이다. 정비례 함수(正比例函數 틀:Llang)는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.

정의

일차 함수는 정의역과 공역이 실수의 집합인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.

$f(x)=ax+b$

여기서 $a$와 $b$는 임의의 실수이다. 정비례 함수는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.

$f(x)=ax$

여기서 $a$는 임의의 실수이다. (정비례 함수는 x의 증가에 따라 y도 증가하는 그래프이다.)

성질

일차 함수 $f(x)=ax+b$의 데카르트 좌표계에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수 $f(x)=ax$의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.

기울기

일차 함수 $f(x)=ax+b$의 기울기는 $x$ 왼쪽에 붙은 상수 $a$를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점 $(x_1,f(x_1))$ 및 $(x_2,f(x_2))$를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 비와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의 $x$축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를 $\theta$라고 할 때, $a$는 이 각도의 탄젠트와 같다. 사실, $a$는 $f$의 미분이기도 하다.

$a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\tan \theta =f^{\prime }(x)$

일차 함수 $f(x)=ax+b$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.

• $a\ne 0$
• $f(x)$는 일차 다항식이다.
• $f(x)$의 그래프는 수평선이 아니다.
• $f(x)$는 강한 단조 함수이다.
• $f(x)$는 전단사 함수이다.

영점

일차 함수 $f(x)=ax+b$의 영점은 일차 방정식 $f(x)=0$의 해와 같다. 즉, 그래프가 $x$축과 만나는 점의 좌표이다.

• $a\ne 0$일 경우, $f(x)$의 영점은 $-b/a$가 유일하다. 즉, $f(x)$의 그래프는 $x$축과 유일한 교점 $(-b/a,0)$을 갖는다.
• $a=0\ne b$일 경우, $f(x)$의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우 $f(x)$의 그래프는 수평선이며, $x$축과 거리 $b$만큼 떨어져 있다.
• $a=0=b$일 경우, 모든 실수가 $f(x)$의 영점이다. 즉, $f(x)$의 그래프는 $x$축과 겹쳐진다.

일차 함수 $f(x)=ax+b$의 0에서의 함숫값은 $f(0)=b$이다. 이는 $f(x)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점의 좌표와 같다.

단조성

일차 함수 $f(x)=ax+b$는 항상 단조 함수이다. $a>0$이면 강한 증가 함수, $a<0$이면 강한 감소 함수, $a=0$이면 상수 함수이다.

아핀성과 선형성

함수 $f:ℝ\to ℝ$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $x,y,t\in ℝ$에 대하여, $f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)$
• 임의의 도함수 $g:ℝ\to ℝ$에 대하여, $f\circ g$ 역시 도함수이다.
• $f$는 일차 함수이다.

함수 $f:ℝ\to ℝ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $x,y,c\in ℝ$에 대하여, $f(cx+y)=cf(x)+f(y)$
• $f$는 정비례 함수이다.

이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환이다.

같이 보기

• 등차수열
• 비례
• 이차 함수

외부 링크

• 틀:Eom