이차 함수

수학에서 이차 함수(二次函數, 틀:Llang)는 최고 차수가 2인 다항 함수이다.

정의

이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f : ℝ \to ℝ$ (또는 $f : ℂ \to ℂ$ )이다.

f (x) = a x^{2} + b x + c

단, $a \neq 0$ 이어야 한다.

보다 일반적으로, 이변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f : ℝ^{2} \to ℝ$ (또는 $f : ℂ^{2} \to ℂ$ )이다.

f (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f

단, $0 = a = b = c$ 가 성립하지 않아야 한다.

보다 일반적으로, $d$ 변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f : ℝ^{d} \to ℝ$ (또는 $f : ℂ^{d} \to ℂ$ )이다.

\begin{matrix} f (x_{1}, x_{2} \dots, x_{d}) & = \sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{d} a_{i j} x_{i} x_{j} + \sum_{k = 1}^{d} b_{k} x_{k} + c \\ = a_{11} x_{1}^{2} + a_{12} x_{1} x_{2} + \dots + a_{1 d} x_{1} x_{d} \\ + a_{21} x_{2} x_{1} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{2 d} x_{2} x_{d} \\ + \dots \\ + a_{d 1} x_{n} x_{1} + a_{n 2} x_{n} x_{2} + \dots + a_{d d} x_{d}^{2} \\ + b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + \dots + b_{d} x_{d} + c \end{matrix}

단, $0 = a_{11} = \dots = a_{d d}$ 가 성립하지 않아야 한다.

성질

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.

반대로, 대칭축이 수직선인 모든 포물선은 어떤 이차 함수의 그래프이다.

방정식

이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

일반형은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. 따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다.
$y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$
표준형은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는 $a$ 가 같은 두 이차 함수의 그래프는 서로 합동이며, 서로를 평행 이동하여 서로를 얻을 수 있음을 의미한다.)
$y = a (x - p)^{2} + q (a \neq 0)$
인수 분해형은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)
$y = a (x - α) (x - β) (a \neq 0)$

일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.

\begin{matrix} y & = a x^{2} + b x + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \\ = a (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) \end{matrix}

볼록성

이차 함수 $f$ 의 개형은 이차항 계수 $a$ 에 따라 다음과 같이 나뉜다.

$a > 0$ 라면, $f$ 는 엄격 볼록 함수이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
$a < 0$ 라면, $f$ 는 엄격 오목 함수이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.

또한, $| a |$ 가 클수록 $f$ 의 그래프의 모양은 뾰족해진다. 즉, 그래프의 폭이 좁아진다.

y절편

이차 함수 $f$ 의 $y$ 절편은 $f (0) = c$ 이다. 즉 $f$ 의 그래프는 $y$ 축과 점 $(0, c)$ 에서 만난다.

대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값

이차 함수 $f$ 의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.

x = - \frac{b}{2 a}

이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})

꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다. $a$ 의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.

$a > 0$ 이라면, $f$ 는 $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ 에서 엄격 감소하며, $[- \frac{b}{2 a}, \infty)$ 에서 엄격 증가한다. 따라서, $f$ 의 최솟값은 $f (- \frac{b}{2 a}) = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ 이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
$a < 0$ 이라면, $f$ 는 $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ 에서 엄격 증가하며, $[- \frac{b}{2 a}, \infty)$ 에서 엄격 감소한다. 따라서, $f$ 의 최댓값은 $f (- \frac{b}{2 a}) = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ 이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

영점 · 판별식 · 비에트 정리

이차 함수 $f$ 의 영점, 즉 그래프와 $x$ 축의 교점의 $x$ 좌표는 다음과 같으며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.

α, β = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

구체적으로, 이차 함수 $f$ 의 판별식 $b^{2} - 4 a c$ 의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

$b^{2} - 4 a c > 0$ 이라면, $f$ 는 서로 다른 두 실근 $α \neq β$ 를 가진다. 이때 그래프는 $x$ 축과 두 개의 교점을 가지며, $x$ 축은 그래프의 할선이다.
$b^{2} - 4 a c = 0$ 이라면, $f$ 는 서로 겹치는 두 실근 $α = β = - \frac{b}{2 a}$ 를 가진다. 이를 $f$ 의 이중근이라고 한다. 이때 그래프는 $x$ 축과 유일한 교점을 가지며, $x$ 축은 그래프의 접선이다.
$b^{2} - 4 a c < 0$ 이라면, $f$ 는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 허근 $α \neq β$ 를 가진다. 이때 그래프는 $x$ 축과 만나지 않는다.

이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

α + β = - \frac{b}{a}

α β = \frac{c}{a}

기타 성질

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 $S = - q \sqrt{- \frac{q}{a}}$ 가 성립한다.

이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 에서 축을 기준으로 왼쪽과 오른쪽으로 나눌 때, $y$ 축에 접하는 쪽의 그래프를 보았을 때 $y$ 축을 중심으로 그래프가 내려가면 $b < 0$ 이고 그래프가 올라가면 $b > 0$ 이 성립한다. 만약 축과 $y$ 축이 일치한다면 $b > 0$ 이 된다.

같이 보기

외부 링크

틀:위키공용분류

틀:Proofwiki

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이차 함수

목차

정의

성질

방정식

볼록성

y절편

대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값

영점 · 판별식 · 비에트 정리

기타 성질

같이 보기

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