차 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 차(次, 틀:Lang) 또는 차수(次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 문자가 곱해진 개수를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식이나 삼차방정식, 이차확대체처럼 다항식의 종류나 확대체의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.

다항식의 차수

정의

다항식을 동류항끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수라 한다. 다항식 $f$의 차수는 보통 $\mathrm{deg}f$로 나타낸다.

예를 들어, $x^2+10x+16$의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식 $(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)$은 $x^3$을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면

$(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)=2x^2-2x$

이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.

문자가 여러 개인 다항식의 차수

두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.

예를 들어, 두 문자 $x$와 $y$에 대한 다항식 $x^2{y}^3+x^3+y^4+1$에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

항	($x$의 지수)+($y$의 지수)
$x^2{y}^3$	5
$x^3=x^3{y}^0$	3
$y^4=x^0{y}^4$	4
$1=x^0{y}^0$	0

가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.

차수의 성질

일반적으로 두 다항식 $f$와 $g$에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathrm{deg}(f+g)\le \max (\mathrm{deg}f,\mathrm{deg}g)$

$\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$

예를 들어, $f(x)=x^2+1,g(x)=x+2$일 때,

$f(x)+g(x)=x^2+x+3$

$f(x)g(x)=x^3+2x^2+x+2$

이므로 위의 성질이 성립한다.

상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를 $-\mathrm{\infty }$로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수 $a$에 대하여

$-\mathrm{\infty }<a,-\mathrm{\infty }+a=-\mathrm{\infty }$

이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.

확대체의 차수

체 $F$와 그 확대체 $K$에 대하여, $K$를 $F$위에서 정의된 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이때 $K$의 차원 ${\dim }_{F}K$을 확대체 $K$의 $F$에 대한 차수라 하며 $[K:F]$로 나타낸다. 예를 들어 $[𝐐(\sqrt{2}):𝐐]=2$이므로 $𝐐(\sqrt{2})$는 $𝐐$의 이차확대체이다.

그래프 이론의 차수

무향 그래프에서, 한 꼭짓점에 이어져있는 변의 개수