사차 방정식

사차 함수의 그래프

사차 방정식(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne 0$

와 같다.

여기에서 $a,b,c,d$는 각각 $x^4,x^3,x^2,x$의 계수라고 한다. $e$는 상수항이라고 부른다.

역사

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

해법

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

이 방정식에서 양변을 $x$의 최고차항인 $a$로 나눈 다음 $x=y-\frac{b}{4a}$ 라고 두면 $y^4+p{y}^2+qy+r=0$ 꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.

$y^4+p{y}^2=-qy-r$

한편, $(y^2+p{)}^2$의 완전제곱식을 풀면, $y^4+2p{y}^2+p^2$이 되므로

$y^4+p{y}^2$의 나머지인$p{y}^2+p^2$를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.

$(y^2+p{)}^2=p{y}^2-qy+p^2-r$이 된다.

이번에는 우변에 미지수 $t$를 제공하고 $y$와 $t$에 대해 정리하면,

${(y^2+p+t)}^2=(p+2t)y^2-qy+(p^2+2pt+t^2-r)$

우변 이차방정식의 판별식, $D=q^2-4(p+2t)((p+t{)}^2-r)=0$이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은 $t$에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 $t$의 3근 $t_1,t_2,t_3$를 구한다음 $t_1$을 대입한다.

$D=q^2-4(p+2t_1)(p^2+2p{t}_1+t_1^2-r)=0$ 에 의해

$\frac{q^2}{4(p+2t_1)}=(p^2+2p{t}_1+t_1^2-r)$ 이므로,

${(y^2+p+t_1)}^2=(p+2t_1)y^2-qy+\left(\frac{q^2}{4(p+2t_1)}\right)$

$(y^2+p+t_1{)}^2=(p+2t_1){(y-\frac{q}{2(p+2t_1)})}^2$이다.

이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,

$y^2-\sqrt{p+2t_1}y+(\frac{q}{2\sqrt{p+2t_1}}+p+t_1)=0$

근의 공식으로부터 $y=\frac{\sqrt{p+2t_1}\pm \sqrt{{(-\sqrt{p+2t_1})}^2-4(\frac{q}{2\sqrt{p+2t_1}}+p+t_1)}}{2}$

그리고, $x=y-\frac{b}{4a}$, 이므로

4근은,

$x=-\frac{b}{4a}+\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}+\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2}\right),-\frac{b}{4a}+\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}-\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2}\right)$

$,-\frac{b}{4a}-\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}+\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2}\right),-\frac{b}{4a}-\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}-\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2}\right)$

이다.

일반적인 경우

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

양변을 $x$의 최고차항인 $a$로 나눈 다음 $x=y-\frac{b}{4a}$ 라고 두고 $y^4+p{y}^2+qy+r=0$ 형태로 정리한다.

$\frac{a}{a}{x}^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

여기서, $\frac{a}{a}=1,\frac{b}{a}=a,\frac{c}{a}=b,\frac{d}{a}=c,\frac{e}{a}=d$, 치환

$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

${(y-\frac{a}{4})}^4+a{(y-\frac{a}{4})}^3+b{(y-\frac{a}{4})}^2+c(y-\frac{a}{4})+d=0$

전개하면,

$y^4+(\frac{-3a^2}{8}+b)y^2+(+\frac{a^3}{8}-\frac{ba}{2}+c)y+(-\frac{a^4}{64}+\frac{a^4}{256}+\frac{b{a}^2}{16}-\frac{ca}{4}+d)=0$

여기서, $\frac{a}{a}=1,\frac{b}{a}=a,\frac{c}{a}=b,\frac{d}{a}=c,\frac{e}{a}=d$, 치환 한것을

$x^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$ , 풀어주면

$y^4+(\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a})y^2+(+\left(\frac{b^3}{8a^3}\right)-\left(\frac{bc}{2a^2}\right)+\frac{d}{a})y+(-\left(\frac{3b^4}{256a^4}\right)+\left(\frac{c{b}^2}{16a^3}\right)-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a})=0$

$p=(\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a})$

$q=(+\left(\frac{b^3}{8a^3}\right)-\left(\frac{bc}{2a^2}\right)+\frac{d}{a})$

$r=(-\left(\frac{3b^4}{256a^4}\right)+\left(\frac{c{b}^2}{16a^3}\right)-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a})$

근과 계수의 관계에서,

$y=u+v+w$를 대입하면,

$(u+v+w{)}^4+p(u+v+w{)}^2+q(u+v+w)+r=0$

$u^2+v^2+w^2=-\frac{p}{2}$

$u^2{v}^2+v^2{w}^2+w^2{u}^2=\frac{p^2}{16}-\frac{r}{4}$

$u^2{v}^2{w}^2={(-\frac{q}{8})}^2$

$uvw=(-\frac{q}{8})$

따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면,

$z^3-(u^2+v^2+w^2)z^2+(u^2{v}^2+v^2{w}^2+w^2{u}^2)z-(u^2{v}^2{w}^2)=0$

이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 $u^2,v^2,w^2$이고,

다시 이것의 제곱근 $u,v,w$가 서로 곱해서,

$uvw=-\frac{q}{8}$가 되는 값이 각각 근의$u,v,w$가 되고,

이어서,
$uvw=(-)u(-)vw=u(-)v(-)w=(-)uv(-)w$가 되고,

이것으로$y=(u\cdot v\cdot w),(-u\cdot -v\cdot w),(u\cdot -v\cdot -w),(-u\cdot v\cdot -w)$가 되겠다.

끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 $x=y-\frac{b}{4a}$에 의해 ,
$(u\cdot v\cdot w)-\frac{b}{4a},(-u\cdot -v\cdot w)-\frac{b}{4a},(u\cdot -v\cdot -w)-\frac{b}{4a},(-u\cdot v\cdot -w)-\frac{b}{4a}$가 되겠다.

특수한 경우

복이차방정식

사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. $x^2=X$으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

$a{x}^4+b{x}^2+c=0,X=x^2$

$a{X}^2+bX+c=0$

상반방정식

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

$a_0{x}^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$

이 경우 양변을 $x^2$으로 나누어 $x+\frac{1}{x}$를 $y$로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

$x^2+x^1+1+\frac{1}{x^1}+\frac{1}{x^2}=0$
$x^2+\frac{1}{x^2}+(x^1+\frac{1}{x^1})+1=0$
$y^2+y-1=0$
이차방정식 근의 공식으로부터,
$y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ , 이고
$x+\frac{1}{x}=y$, 이므로

$yx=(x+\frac{1}{x})x$

$yx=xx+\frac{1}{x}x$,

$x^2+\frac{1x}{x}-yx=0$,

$x^2-yx+\frac{x}{x}=0$,

$x^2-yx+1=0$
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
$x=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}$ 이므로, 여기에$y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$를 대입하여 정리하면,
$\frac{1}{4}(-1\pm \sqrt{5}\pm \frac{2\sqrt{-10\pm 2\sqrt{5}}}{2})$

$=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}),\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}),\frac{1}{4}(-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}),\frac{1}{4}(-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}})$의 4근을 갖는다.

좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

$a_0{x}^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}mx+a_0{m}^2=0$

의 경우 $x+\frac{m}{x}$으로 치환해주면 된다.

이항방정식

$x^4+a=0$의 꼴이다.

특히 $x^4=1$의 경우는, 근의 계수 $\omega$를 교착해서 4개의 근이 구해진다.(근은 1, -1, i, -i이다.)

인수분해 (곱셈공식 적용)

$x=a$로 예약했을때,

$a^4+a^2{b}^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$a^4+b^4=(a^2+b^2{)}^2-2a^2{b}^2$

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2{)}^2-2((ab+bc+ca{)}^2-2abc(a+b+c))$

꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.

근과 계수의 관계

틀:참고 사차방정식 $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$의 네 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =-\frac{b}{a}$

$\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac{c}{a}$

$\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =-\frac{d}{a}$

$\alpha \beta \gamma \delta =\frac{e}{a}$

이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에 따라 $n$차방정식은 $n$개의 근을 갖고, 따라서, $4$개의 근 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$를 예정하고, 이를 $4$차방정식의 인수분해식으로 놓으면, $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )=0$이 되고, 다항식으로 전개하면, $x^4-(\alpha +\beta +\gamma +\delta )x^3+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta )x^2-(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta )x+\alpha \beta \gamma \delta =0$이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면,

$x^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.

사차방정식의 판별식

사차방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 사차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$을

$a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 $M=(2n-1)\cdot (2n-1)$

$M=\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0& 0\\ 0& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0\\ 0& 0& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0& 0& 0\\ 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0& 0\\ 0& 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0a_0\\ 0a_0& 0& 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1\end{array}\right]$

$D=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_n^{-1}M$

$D=(-1{)}^{\frac{4(4-1)}{2}}{a}_4^{-1}M$

$D=(-1{)}^{\frac{12}{2}}{a}_4^{-1}M$

$D=(-1{)}^6{a}_4^{-1}M$

$D=-27a^2{d}^4+18abc{d}^3-4a{c}^3{d}^2+16a{c}^{4}e-80ab{c}^{2}de$

$+144a^{2}c{d}^{2}e-6a{b}^2{d}^{2}e-4b^3{d}^3+b^2{c}^2{d}^2-4b^2{c}^{3}e$

$+18b^{3}cde-27b^4{e}^2+144a{b}^{2}c{e}^2-192a^{2}bd{e}^2-128a^2{c}^2{e}^2+256a^3{e}^3$

같이 보기

• 일차 방정식
• 이차 방정식
• 삼차 방정식
• 5차 방정식
• 6차 방정식