융합 규칙

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학과 추상대수학에서 융합 규칙(融合規則, 틀:Llang)은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 페를린더 공식(틀:Llang)이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 융합환(融合環, 틀:Llang) 또는 페를린더 대수(Verlinde代數, 틀:Llang)라는 가환환이 대응된다.

정의

유한 집합 $I$ 및 대합

$(-{)}^{*}:I\to I$

$(-{)}^{*}\circ (-{)}^{*}={\mathrm{id}}_I$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드

${\mathbb{N}}^I=\{\sum _i{n}_{i}i:\mathrm{\forall }i\in I:n_i\in \mathbb{N}\}$

를 생각할 수 있다. 그 원소는 $I$의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다.

$I$ 위의 융합 규칙은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수

$N:{\mathbb{N}}^I\to \mathbb{Z}$

이다.

• (규격화) $N(0)=1$
• (대합에 대한 대칭) $N(x^{*})=N(x)\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{N}}^I$
• (융합) $N(x+y)=\sum _{k\in I}N(x+k)N(y+k^{*})\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{N}}^I$
• (부호) $\mathrm{\exists }i\in I:N(i)>0$
• (비퇴화성) $\mathrm{\forall }i\in I\mathrm{\exists }x\in {\mathbb{N}}^I:N(i+x)\ne 0$

성질

항등원과 3점 계수

임의의 융합 규칙 $N:{\mathbb{N}}^I\to \mathbb{Z}$가 주어졌을 때, 어떤 원소 $\eta \in I$에 대하여

$N(i)=\{\begin{array}{cc}1& i=\eta \\ 0& i\ne \eta \end{array}$

${\eta }^{*}=\eta$

이게 된다. 이를 융합 규칙의 항등원(틀:Llang)이라고 하며, 보통 단순히 $1$로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.)

증명:

공리로부터,

$1=N(0)=N(0+0)=\sum _{i\in I}N(i)N(i^{*})=\sum _{i\in I}N(i{)}^2$

이다. $N(i{)}^2\in \mathbb{N}$이므로, 이는 어떤 $\eta \in I$인 경우 $N(\eta )\in \{\pm 1\}$이며 다른 나머지 $j\in I\setminus \{\eta \}$에 대하여 $N(j)=0$임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 $N(i)>0$인 $i\in I$가 존재하여야 하므로, 이는 $i=\eta$일 수 밖에 없으며, $N(\eta )=1$이다. $N({\eta }^{*})=1$이므로 $\eta ={\eta }^{*}$이다.

이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.

$N(1+x)=N(x)\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{N}}^I$

증명:

공리로부터,

$N(x)=N(0+x)=\sum _{i\in I}N(i^{*})(i+x)=N(1+x)$

이다.

또한, 항상 다음이 성립한다.

$N(i+j)=\{\begin{array}{cc}1& i=j^{*}\\ 0& i\ne j^{*}\end{array}$

증명:

공리로부터,

$N(i+i^{*})=\sum _{j\in I}N(i+j)N(j^{*}+i^{*})=\sum _{j\in I}N(i+j{)}^2\ge N(i+i^{*}{)}^2$

이다. $k\ge k^2$를 만족시키는 정수 $k$는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 $k=k^2$이므로

$0=N(i+i^{*})-N(i+i^{*}{)}^2=\sum _{j\in I\setminus \{i\}}N(i+j{)}^2$

이며, 따라서

$N(i+j)=0(i\ne j)$

이다.

만약 $N(i+i^{*})=0$이라면, 임의의 $x\in {\mathbb{N}}^I$에 대하여

$N(i+x)=\sum _{j\in I}N(i+j^{*})N(j+x)=0$

인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 $N(i+i^{*})=1$이다.

사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.

• 항등원 $1\in I$
• 3점 계수 $N\upharpoonright \{i+j+k:i,j,k\in I\setminus \{1\}\}$

증명:

2점 이하의 계수는 $1\in I$로 완전히 결정된다. 또한,

$N(i_1+i_2+\cdots +i+i_k)=\sum _{j\in I}N(i_1+i_2+j^{*})N(j+i_3+\cdots +i_k)(k\ge 3,i_1,i_2,\dots ,i_k\in I)$

이므로, $k$점의 계수는 3점 계수와 $k-1$점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 $N(i+j+k)$에서 만약 $i,j,k$ 가운데 하나가 $1$에 속한다면 그 값은 자명하다.

보통 3점 계수는

$N(i+j+k^{*})=N_{ij}^k$

로 표기한다. 대칭에 의하여

$N_{ij}^k=N_{ji}^k=N_{k^{*}i}^j=N_{i^{*}{j}^{*}}^{k^{*}}$

$N_{1i}^j=N_{i{j}^{*}}^1={\delta }_i^j$

가 된다. ($\delta$는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.

$N(i+j+k+l^{*})=\sum _{m\in I}{N}_{ij}^m{N}_{km}^l=\sum _{m\in I}{N}_{ik}^m{N}_{jm}^l(\mathrm{\forall }i,j,k,l\in I)$s

만약 $N_{ij}^k$를 행렬 $N_i$로 표기한다면, 이는 다음과 같다.

$N_j{N}_k=N_k{N}_j$

즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다.틀:Rp 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.

고차 종수 융합 규칙

융합 규칙 $N:{\mathbb{N}}^I\to \mathbb{Z}$ 및 자연수 $g$에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.

$N_g(x)=\sum _{i\in I}{N}_{g-1}(x+i+i^{*})\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{N}}^I$

$N_0=N$

이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 $g$의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다. 그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.틀:Rp

$N_{g+h}(x+y)=\sum _{i\in I}{N}_g(x+i^{*})N_h(i+y)\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{N}}^I,g,h\in \mathbb{N}$

융합환

융합 규칙 $N:{\mathbb{N}}^I\to \mathbb{Z}$이 주어졌을 때, $I$로 생성되는 자유 아벨 군 $R={\mathbb{Z}}^I$ 위에 다음과 같은 $\mathbb{Z}$-쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

$i_1\cdot i_2\cdot \cdots \cdot i_k=\sum _{j\in I}N(i_1+\cdots +i_k+j^{*})j(k\in \mathbb{N},i_1,\dots ,i_k\in I)$

이는 항등원 $1\in I$을 갖는 가환환을 이루며, 융합환이라고 한다.

특히, 융합환 $R$의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,

$\sum _{j\in I}N(j^{*})j=1$

이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은

$i=\sum _{j\in I}N(i+j^{*})j$

이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.

융합환 $R$ 위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형

$t:(R,+)\to (\mathbb{Z},+)$

이 존재한다.틀:Rp

$t(i_1{i}_2\cdots i_k)=N(i_1+i_2+\cdots +i_n)\mathrm{\forall }{i}_1,\dots ,i_k\in I$

따라서 $t$는 $R$-가군의 동형 사상

$R\to R^{\vee }={\mathrm{hom}}_{\mathbb{Z}}(R,\mathbb{Z})$

$r\mapsto (s\mapsto t(rs))$

을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합

$\mathrm{tr}\in R^{\vee }$

$\mathrm{tr}:i\mapsto \sum _{j\in I}{N}_{ij}^j(i,j,k\in I)$

에 대응되는 $R$의 원소는 카시미르 원소

$\sum _{i\in I}i{i}^{*}$

이다.

등각 장론의 융합환

2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, $I$를 1차장의 집합으로 놓고, $(-{)}^{*}$를 항등 함수로 놓고,

$N_{ij}^k=\{\begin{array}{cc}0& C_{ijk}=0\\ 1& C_{ijk}\ne 0\end{array}$

로 놓자. (여기서 $C_{ijk}$는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 $(-{)}^{*}$이 자명하지 않을 수 있다.

페를린더 공식

유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가

$Z(\tau )=\sum _{i\in I}{\chi }_i(\tau )$

라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성

$Z(\tau )=Z(-1/\tau )$

에 의하여

${\chi }_i(-1/\tau )=\sum _{j\in I}{S}_i{}^j{\chi }_j(\tau )$

가 되는 행렬

$S:{\mathbb{Z}}^I\to {\mathbb{Z}}^J$

이 존재한다. (보다 일반적으로, ${ℂ}^I$ 위에는 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$의 표현이 존재한다.) $S$는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), $S^4=1$이다.

이 경우, 다음과 같은 페를린더 공식(틀:Llang)이 성립한다.틀:Rp

$N_{ij}^k=\sum _{l\in I}\frac{S_{il}{S}_{jl}{\overline{S}}_{lk}}{S_{1l}}$

여기서 $\overline{S}$는 성분별 복소켤레이다 (즉, $(\overline{S}{)}^{\mathrm{\top }}=S^{†}$).

예

이징 모형

임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 $c=1/2$을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.

기호	설명	비라소로 대수 표현 $(h,\overline{h})$
1	진공	(0,0)
$\sigma$	스핀 밀도	(1/16,1/16)
$ϵ$	에너지 밀도	(½,½)

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.틀:Rp

$I=\{1,\sigma ,ϵ\}$

$(-{)}^{*}={\mathrm{id}}_I$

$N(2\sigma )=1$

$N(2ϵ)=1$

$N(2\sigma +ϵ)=1$

$N(1+2ϵ)=1$

$N(1+2\sigma )=1$

$N(ϵ+2\sigma )=1$

이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.

$A=\mathbb{Z}[\sigma ,ϵ]/({\sigma }^2-1-ϵ,ϵ\sigma -\sigma ,{ϵ}^2-1)$

즉, 곱셈이 다음과 같다.

·	1	σ	ε
1	1	σ	ε
σ	σ	1+ε	σ
ε	ε	σ	1

베스-추미노-위튼 모형

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 단순 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 카르탕 부분 대수 $𝔥$
  • 따라서, 근계 $\mathrm{R}(𝔤,𝔥)$를 정의할 수 있다.
• 근계 $\mathrm{R}(𝔤,𝔥)$ 위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 $\theta \in \mathrm{R}(𝔤,𝔥)$을 고를 수 있다.
• 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$

이제, $\widehat{𝔤}$의 우세 무게 $\lambda$ 가운데 $⟨\lambda |\theta ⟩\le k$인 것들의 집합을 $P_k$라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$의 준위 $k$의 표현들과 일대일로 대응한다. $\lambda \in P_k$에 대응하는 $\widehat{𝔤}$-표현을 ${\mathscr{H}}_{\lambda }$라고 표기하자.

이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 연결 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$
• $\mathrm{\Sigma }$의 유한 부분 집합 $X=\{x_1,\dots ,x_n\}\subseteq \mathrm{\Sigma }$
• 함수 $\lambda :X\to P_k$

그렇다면, $\widehat{𝔤}$의 표현

$\underset{x\in X}{⨂}{\mathscr{H}}_{\lambda (x)}$

을 생각하자. 또한, $𝔤$값 정칙 함수의 복소수 리 대수 $𝒪(\mathrm{\Sigma }\setminus X){\otimes }_{ℂ}𝔤$는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

$V(X,\lambda )={\left(\underset{x\in X}{⨂}{\mathscr{H}}_{\lambda (x)}\right)}_{𝒪(\mathrm{\Sigma }\setminus X){\otimes }_{ℂ}𝔤}$

여기서 $W_{𝔤}$는 $W$의, $𝔤$-작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 $𝔤$에 불변인, $W$의 가장 큰 몫 벡터 공간이다.

아핀 리 대수 $\widehat{𝔤}$의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 $V(X,\lambda )$는 각 점 $x\in X$에 $\lambda (x)$에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다.

두 유한 집합 $X$, $X^{\prime }$ 및 전단사 함수 $i:X\to X^{\prime }$가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상

$V_{\mathrm{\Sigma }}(X,\lambda )\cong V_{\mathrm{\Sigma }}(X^{\prime },\lambda \circ i)$

이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.틀:Rp

$N(\sum {\lambda }_i)=\dim V_{{\mathbb{P}}_{ℂ}^1}(\{x_1,\dots ,x_n\},(x_i\mapsto {\lambda }_i))$

즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.

역사

에릭 페를린더 (2009년 사진)

에릭 페를린더(틀:Llang, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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