스펙트럼 정리

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학과 함수해석학에서 스펙트럼 정리(spectrum定理, 틀:Llang)는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

행렬에 대한 스펙트럼 정리

$A:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$이 $n\times n$ 에르미트 행렬(정규 행렬만 되어도 충분하다.)이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$의 고유벡터들로 구성된, ${ℂ}^n$의 정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해, $A$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$A=U\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)U^{*}$

여기서 $U$는 유니터리 행렬이며, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$은 (중복도를 고려한) $A$의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬 $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

$A=Q\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)Q^T$

로 적을 수 있다. 여기서 $Q$는 직교행렬이며, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$은 (중복도를 고려한) $A$의 고윳값들이다.

콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 위에 콤팩트 자기 수반 작용소 $A:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$의 고유벡터들로 구성된, $\mathscr{H}$의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리

힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

$A:\mathrm{dom}A\subset \mathscr{H}\to \mathscr{H}$

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 가측 함수 $f:X\to ℝ$ 및 유니터리 작용소

$U:\mathscr{H}\to L^2(X)$

가 존재한다 ($\mathrm{dom}U=\mathscr{H}$, $U(\mathscr{H})=L^2(X)$).

$A=U^{-1}fU$

같이 보기

• 행렬 분해
• 표준 형식
• 조르당 표준형
• 특잇값 분해
• 고유값 분해

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용