요르단 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, 틀:Llang)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.

안녕하세요 저는 올해 고2인데 고민이 하나 있습니다. 믿지 못하시겠지만 저는 성조숙증과 거대유방증(=유방비대증)으로 초1때부터 가슴이 커져서 지금은 75U컵이에요... 어떡하죠? 제 토론 문서에 글 좀...

정의

쌍선형 형식을 통한 정의

2가 가역원인 가환환 $K$ 위의 요르단 대수 $A$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $A$
• 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 $\bullet :{\mathrm{Sym}}_K^2(A)\to A$
• 이 이항 연산의 항등원 $1_A\in A$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (요르단 항등식 틀:Llang) $(x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))\mathrm{\forall }x,y\in A$

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

이차 형식을 통한 정의

가환환 $K$ 위의 요르단 대수 $A$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $A$
• 원소 $1_A\in A$
• 함수 $U:A\to {\mathrm{hom}}_K(A,A)$, $x\mapsto U_x$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $U_{1_A}=1_A$
• $U_{\alpha x}={\alpha }^2{U}_x$
• $U_{U_{x}y}=U_x\circ U_y\circ U_x$
• $U_x\circ V_{y,x}=V_{x,y}\circ U_x$ ($V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_x-U_z)y$)

또한, 이 공리들은 $K$의 임의의 스칼라 확장 $K\to \tilde{K}$에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

첫째 정의	둘째 정의	$A$가 결합 대수일 경우
$2x\bullet (x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y$	$U_{x}y$	$xyx$
$2(x\bullet (y\bullet z)+(x\bullet y)\bullet z-(x\bullet z)\bullet y)$	$V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_x-U_z)y$	$xyz+zyx$
$x\bullet y$	$\frac{1}{2}{V}_{x,y}1$	$(xy+yx)/2$

그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

연산

직합

같은 가환환 $K$ 위의 두 요르단 대수 $A$, $B$가 주어졌을 때, 그 직합 $A\oplus B$을 정의할 수 있다. $K$-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

$(a,b)\bullet (a^{\prime },b^{\prime })=(a\bullet a^{\prime },b\bullet b^{\prime })\mathrm{\forall }a,a^{\prime }\in A,b,b^{\prime }\in B$

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수(틀:Llang)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.틀:Rp

몫

가환환 $K$ 위의 요르단 대수 $A$의 요르단 아이디얼(틀:Llang)은 다음과 같은 $K$-부분 가군 $\Im \subseteq A$이다.

• $A\bullet \Im \subseteq \Im$

$U$로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.

• $U_{\Im }(A)+U_A(\Im )\subseteq \Im$

요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수(틀:Llang)

$A/\Im$

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 $\varphi :A\to B$이 주어졌을 때, 그 핵 ${\varphi }^{-1}(0_B)\subseteq A$은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 ($\Im \ne A$라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼($\{0\},A$)을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, 틀:Llang)라고 한다.

동위 연산

가환환 $K$ 위의 요르단 대수 $(A,\bullet )$의 임의의 원소 $u\in A$에 대하여, $U_u:A\to A$가 전단사 함수라고 하자 (즉, $U_u\in \mathrm{GL}(A;K)$). 그렇다면, $A$ 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

$U_x^{(u)}=U_x\circ U_u$

만약 $2\in \mathrm{Unit}(K)$라면, 새 이항 연산 ${\bullet }^{(u)}$은 다음과 같다.

$x{\bullet }^{(u)}y=\frac{1}{2}{V}_{x,u}(z)=x\bullet (u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y-(x\bullet y)\bullet u$

이 요르단 대수 구조를 $A^{(u)}$라고 하며, 이를 $A$의 동위(同位, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp ($U_u$가 가역원이라는 조건은 $A^{(u)}$의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

$A^{(1)}=A$

$A^{(u)(v)}=A^{U_u(v)}$

이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.틀:Rp

피어스 분해

요르단 대수 $(A,\bullet )$에서, 만약 어떤 원소 $e\in A$가 $e^2=e$를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

$e\bullet ((2e-1)\bullet ((e-1)\bullet x))=2(e\bullet (e\bullet x))-3e\bullet (e\bullet x)+e\bullet x=0\mathrm{\forall }x\in A$

이에 따라서, 만약 $\mathrm{char}K\ne 2$이며 $A$가 유한 차원이라면, $e$에 의한 왼쪽 곱셈 사상 $(e\bullet ):A\to A$의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, $A$는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

$A=A_0(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_1(e)$

이를 피어스 분해(틀:Llang)라고 한다.

구조 리 대수

$K$가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, $(A,\bullet )$가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

$[x\bullet ,y\bullet ]\in 𝔡𝔢𝔯(A,\bullet )$

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

$(x\bullet ):A\to A\in 𝔤𝔩(A;K)$

이며, 리 괄호는 $𝔤𝔩(A;K)$의 것이며, $𝔡𝔢𝔯(A,\bullet )$은 $A$의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, $K$-벡터 공간

$𝔰𝔱𝔯(A)=𝔡𝔢𝔯(A)\oplus A$

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 $K$-리 대수로 만들 수 있다.

$[\delta ,ϵ{]}_{𝔰𝔱𝔯(A)}=[\delta ,ϵ{]}_{𝔡𝔢𝔯(A)}\mathrm{\forall }\delta ,ϵ\in 𝔡𝔢𝔯(V)$

$[\delta ,x]=\delta (x)\mathrm{\forall }\delta \in 𝔡𝔢𝔯(V),x\in A$

$[x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\mathrm{\forall }x,y\in A$

이를 요르단 대수 $A$의 구조 리 대수(構造Lie代數, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

물론, $A$의 항등원 $1_A\in A$은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 $K$-리 대수

${𝔰𝔱𝔯}^{\prime }(A)=𝔡𝔢𝔯(A)\oplus A/{\mathrm{Span}}_K\{1_A\}$

를 정의할 수 있다.

성질

일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 $(A,\bullet )$에서 다음이 성립한다.

• (멱결합성 틀:Llang) 임의의 원소 $x\in A$에 대하여, $x$로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, $x^n$ ($n\in \mathbb{N}$)과 같은 표현이 잘 정의된다.
• $(x^m\bullet y)\bullet x^n=x^m\bullet (y\bullet x^n)\mathrm{\forall }x,y\in A,m,n\in \mathbb{N}$

두 명제의 증명:

편의상, 결합자

$[a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)$

를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.

$[a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0$

$[a,b,c]=-[c,b,a]$

요르단 항등식에 의하여,

$((\alpha a+\beta b+\gamma c{)}^{2}d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)-((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c{)}^2=0$

를 전개하고, $\alpha \beta \gamma$에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

$[b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0$

수학적 귀납법을 사용하여, $n\le N$에 대하여 $x^n$이 잘 정의된다고 하자. 이제,

$m+n\le N⟹[x^m,y,x^n]=0$

임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

$[x^m,y,x^n]=[x^{m-1}x,y,x^n]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}](m+n\le N)$

이므로, 이를 통해

$-[x^n,y,x^m]=[x^m,y,x^n]=m[x,y,x^{m+n-1}](m+n\le N)$

이다. 그런데 $n=1$로 놓으면

$-[x,y,x^m]=m[x,y,x^m]$

이 되어, 즉 $[x^n,y,x^m]\propto [x,y,x^m]=0$이 된다.

맥도널드 원리

3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 $p(x,y,z)$이 주어졌다고 하자. 만약

• $p$가 $x$에 대하여 1차 이하이며,
• $p(x,y,z)=0$가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,

$p(x,y,z)=0$는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

형식적 실수 요르단 대수

형식적 실수 요르단 대수(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 $A$다.

임의의 $x_1,\dots ,x_n\in A\setminus \{0\}$에 대하여, $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\ne 0$이다.

분류

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(틀:Llang)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

• $n\times n$ 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 $M\bullet N=(MN+NM)/2$이다.
• $n\times n$ 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 $M\bullet N=(MN+NM)/2$이다.
• $n\times n$ 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 $M\bullet N=(MN+NM)/2$이다.
• ${ℝ}^n$으로 생성되고 조건 $x^2=\Vert x{\Vert }^2$을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 $n+1$차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(틀:Llang) 또는 클리퍼드형 대수(틀:Llang)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
• $3\times 3$ 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 $M\bullet N=(MN+NM)/2$이다. 이를 예외 요르단 대수(틀:Llang) 또는 앨버트 대수(틀:Llang)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.

기호	실수 차원	이름	정의
$\mathrm{H}(n;ℝ)$	$n(n+1)/2$	$n\times n$ 실수 대칭 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\mathrm{H}(n;ℂ)$	$n^2$	$n\times n$ 복소 에르미트 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\mathrm{H}(n;ℍ)$	$n(2n-1)$	$n\times n$ 사원수 에르미트 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\mathrm{JSpin}(n)$	$n+1$	스핀 인자 $ℝ\oplus {ℝ}^n$	$(r,𝐮)\bullet (s,𝐯)=(rs+⟨𝐮,𝐯⟩,r𝐯+s𝐮)$
$\mathrm{H}(3;𝕆)$ 또는 $𝔸$	27	앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)	$M\bullet N=(MN+NM)/2$

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

$\mathrm{H}(1;𝕂)=\mathrm{JSpin}(0)=ℝ(𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ,𝕆\})$틀:Rp

$\mathrm{H}(2;𝕂)=\mathrm{JSpin}(1+{\dim }_{ℝ}𝕂)(𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ,𝕆\})$틀:Rp

구체적으로,

$a_{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

$a_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$a_i=\left(\begin{array}{cc}0& e_i\\ -e_i& 0\end{array}\right)(i\in \{1,\dots ,{\dim }_{ℝ}𝕂-1\})$

로 잡으면,

$a_i\bullet a_j={\delta }_{ij}{1}_{2\times 2}\mathrm{\forall }i,j\in \{-1,0,1,\dots ,{\dim }_{ℝ}𝕂-1\}$

임을 알 수 있다 (${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타).

예

자명한 요르단 대수

임의의 가환환 $K$에 대하여, 0차원 또는 1차원 $K$-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

결합 대수에 대응되는 요르단 대수

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 임의의 결합 대수 $A$가 주어졌을 때,

$x\bullet y=\frac{1}{2}(xy+yx)$

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

증명:

요르단 항등식을 증명하면 족하다.

$(x\bullet y)\bullet x^2=(xy+yx)x^2+x^2(xy+yx)=y{x}^3+xy{x}^2+x^{2}yx+x^{3}y$

$x\bullet (y\bullet x^2)=x(y{x}^2+x^{2}y)+(y{x}^2+x^{2}y)x=y{x}^3+xy{x}^2+x^{2}yx+x^{3}y$

이는 $K$-결합 대수의 범주에서 $K$-요르단 대수의 범주로 가는 함자

$(-{)}^{+}:{\mathrm{Assoc}}_K\to {\mathrm{Jord}}_K$

를 정의한다.

자유 요르단 대수

주어진 체 $K$위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수(틀:Llang)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

${\mathrm{Jord}}_K\to {\mathrm{Vect}}_K$

의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 $K$-벡터 공간이다.

하나의 원소 $x$로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 $K[x]$이다.

응용

요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.

역사

파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. $X,Y$가 에르미트 관측 가능량이라면 $X\bullet Y=(XY+YX)/2$ 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼(틀:Llang)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 요르단 삼항 대수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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• 틀:저널 인용