미분 리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 틀:Llang)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 $A_0,A_1$. $A=A_0\oplus A_1$로 표기하자.
• $K$-가군 준동형 $(\cdot ):A{\otimes }_{K}A\to A$, $(a\otimes b)\mapsto a\cdot b$
• $ϵ\in \{0,1\}$

그렇다면, $(A,\cdot )$의 $ϵ$-미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $d_0:A_0\to A_1$
• $d_1:A_1\to A_0$

편의상 $d=d_0\oplus d_1:A\to A$로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(a\cdot b)=da\cdot b+a\cdot db\mathrm{\forall }a\in A_0,b\in A$

$d(a\cdot b)=da\cdot b+ϵa\cdot db\mathrm{\forall }a\in A_1,b\in A$

이는

$\mathrm{deg}a=\{\begin{array}{cc}0& a\in A_0\\ 1& a\in A_1\end{array}\in \{0,1\}$

을 정의하면

$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-{)}^{ϵ\mathrm{deg}a}a\cdot db$

로 표기될 수 있다.

$(A,\cdot )$ 위의 $ϵ$-미분들의 집합을 ${𝔡𝔢𝔯}_{ϵ}(A)$로 표기하자. 그렇다면,

$𝔡𝔢𝔯(a)={𝔡𝔢𝔯}_0(A)\oplus {𝔡𝔢𝔯}_1(A)$

위에 리 초괄호

$[d,d^{\prime }\}=d\circ d^{\prime }-(-{)}^{ϵ{ϵ}^{\prime }}{d}^{\prime }\circ d(d\in {𝔡𝔢𝔯}_{ϵ}(A),d^{\prime }\in {𝔡𝔢𝔯}_{{ϵ}^{\prime }}(A))$

을 정의하면, 이는 $K$-리 초대수를 이룬다. 이를 $(A,\cdot )$의 미분 리 초대수(틀:Llang)라고 한다.

물론, 만약 $A_1=0$일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 $(A_0,\cdot )$의 미분 리 대수(틀:Llang) $𝔡𝔢𝔯(A_0)$를 정의할 수 있다. 이는 $K$-리 대수이다. 리 대수 이론에서, 리 대수 미분(틀:Llang)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는 $(A,\cdot )$가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질

내부 미분

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 임의의 원소 $x$에 대하여, 딸림표현

$\mathrm{ad}(x):y\mapsto [x,y]$

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

$\mathrm{ad}:𝔤\to 𝔡𝔢𝔯(𝔤)$

을 정의한다. 그 상 $𝔦𝔫𝔫(𝔤)\subseteq 𝔡𝔢𝔯(𝔤)$은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 $K$-몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다.

$\frac{𝔡𝔢𝔯(𝔤)}{𝔦𝔫𝔫(𝔤)}={\mathrm{H}}^1(𝔤;𝔤)$

표수 0의 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $𝔤$ 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

$𝔤\cong 𝔡𝔢𝔯(𝔤)$

반면, 표수 0의 체 위에서도, $𝔤\cong 𝔡𝔢𝔯(𝔤)$를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.틀:Rp

리 대수 자기 동형

표수 0의 체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 위의 미분 $d:𝔤\to 𝔤$가 멱영원이라고 하자. 즉,

$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:d^n=0:𝔤\to 𝔤$

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp (d)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{d}^n:𝔤\to 𝔤$

이는 $𝔤$의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

$[\exp (d)(x),\exp (d)(y)]=\exp (d)([x,y])$

가 성립한다.

같이 보기

• 켈러 미분

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용