요르단 삼항 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, 틀:Llang)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, 틀:Llang)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.

정의

요르단 삼항 대수

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-벡터 공간 $A$
• $K$-선형 변환 $⟨-⟩:A{\otimes }_{K}A{\otimes }_{K}A\to A$, $x\otimes y\otimes z\mapsto ⟨xyz⟩$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (대칭성) $⟨x,y,z⟩=⟨z,y,x⟩$
• $⟨u,v,⟨x,y,z⟩⟩-⟨x,y,⟨u,v,z⟩⟩=⟨⟨u,v,x⟩,y,z⟩-⟨x,⟨y,u,v⟩,z⟩$

성질

요르단 대수 → 요르단 3항 대수

요르단 대수 $(A,\star )$가 주어졌을 때

$⟨x,y,z⟩=(x\star y)\star z+x\star (y\star z)-y\star (x\star z)$

를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

리 대수 → 요르단 3항 대수

$K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 가 $\{-1,0,+1\}$ 값의 등급을 갖는다고 하자.

$𝔤={𝔤}_{-1}\oplus {𝔤}_0\oplus {𝔤}_1$

$[{𝔤}_0,{𝔤}_i]\subseteq {𝔤}_i$

$[{𝔤}_1,{𝔤}_1]=[{𝔤}_{-1},{𝔤}_{-1}]=0$

$[{𝔤}_1,{𝔤}_{-1}]\subseteq {𝔤}_0$

또한, $K$-선형 변환 $\tau :𝔤\mapsto 𝔤$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\tau$는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
• (대합) $\tau (\tau (x))=x\mathrm{\forall }x\in 𝔤$
• (등급과의 호환) $\tau (x)\in {𝔤}_{-i}\mathrm{\forall }i\in \{0,\pm 1\},x\in {𝔤}_i$

그렇다면,

$⟨x,y,z⟩=[[x,\tau (y)],z]$

를 정의하면 $𝔤$는 요르단 3항 대수를 이룬다.

요르단 3항 대수 → 리 대수

이제, 요르단 3항 대수 $(A,⟨-,-,-⟩)$가 주어졌을 때, 다항 함수 $A\to A$의 결합 대수

$A\otimes K[A]$

를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 $[a,b]=ab-ba$만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 $K$-벡터 공간을 정의하자.

${𝔤}_{-1}=\{x\mapsto a:a\in A\}=(A{\otimes }_{K}K[A]{)}_0$

${𝔤}_0={\mathrm{Span}}_K\{x\mapsto ⟨a,b,x⟩:a,b\in A\}\subseteq (A{\otimes }_{K}K[A]{)}_1$

${𝔤}_1=\{x\mapsto -\frac{1}{2}⟨x,u,x⟩:u\in A\}\subseteq (A{\otimes }_{K}K[A]{)}_2$

이는 $A$ 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 $A{\otimes }_{K}K[A]$의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉, 이는 $K$-리 대수를 이루며, 또한 $\{-1,0,+1\}$ 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는

$\tau :{𝔤}_i\mapsto {𝔤}_{-i}$

$\tau :((x\mapsto u)\in {𝔤}_{-1})\mapsto ((x\mapsto -\frac{1}{2}⟨x,u,x⟩)\in {𝔤}_1$

$\tau :((x\mapsto ⟨u,v,x⟩)\in {𝔤}_0)\mapsto ((x\mapsto ⟨\tau (u),\tau (v),x⟩)\in {𝔤}_0)$

와 같은 대합이 주어진다.

이를 $A$에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며, $𝔠𝔬𝔫(A)$로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 ${𝔠𝔬𝔫}_0(A)$로 표기한다.

만약 $A$가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형

$K\to {𝔠𝔬𝔫}_0(A)$

$\alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)$

이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를

${{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(𝔄)=\frac{{𝔠𝔬𝔫}_0}{K}$

로 표기하자. 사실, ${𝔠𝔬𝔫}_0(A)$의 모든 원소는

$T=\frac{1}{{\dim }_{K}A}\mathrm{tr}(T)+(T-\frac{1}{{\dim }_{K}A}\mathrm{tr}(T))$

와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합

${𝔠𝔬𝔫}_0(A)=K\oplus 𝔠𝔬𝔫{\text{'}}_0(A)$

을 이룬다.

또한, $A$가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 $\star$을 보존하는 미분 리 대수 $𝔡𝔢𝔯(A)$가 존재하며, 이는 ${{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(A)$의 부분 대수를 이룬다.

$𝔡𝔢𝔯(A)\subseteq {{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(A)$

예

요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.틀:Rp

요르단 대수 $A$	$𝔠𝔬𝔫(A)$	${{𝔠𝔬𝔫}_0}^{\prime }(A)$	$𝔡𝔢𝔯(A)$
$\mathrm{H}(1;𝕂)=ℝ$	$𝔰𝔩(2;ℝ)=𝔬(1,2)$	0	0
$\mathrm{H}(2;𝕂)$	$𝔬(2,2+{\dim }_{ℝ}𝕂)$	$𝔬(1,1+{\dim }_{ℝ}𝕂)$	$𝔬(1+{\dim }_{ℝ}𝕂;ℝ)$
$\mathrm{H}(3;𝕆)$ (앨버트 대수)	${𝔢}_{7(-25)}$ (E₇ 리 대수)	${𝔢}_{6(-26)}$ (E₆ 리 대수)	${𝔣}_4$ (콤팩트 F₄ 리 대수)
$\mathrm{H}(3;ℍ)$	${𝔬}^{*}(12)$	${𝔰𝔲}^{*}(6)=𝔰𝔩(3;ℍ)$	$𝔲𝔰𝔭(6)=𝔰𝔲(3;ℍ)$
$\mathrm{H}(3;ℂ)$	$𝔰𝔲(3,3)$	$𝔰𝔩(3;ℂ)$	$𝔰𝔲(3)$
$\mathrm{H}(3;ℝ)$	$𝔰𝔭(6;ℝ)$	$𝔰𝔩(3;ℝ)$	$𝔬(3)$

여기서

• $\mathrm{H}(n,𝕂)$는 $K$ 계수의 $n\times n$ 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
• $𝕂$는 실수체 ($ℝ$), 복소수체 ($ℂ$), 사원수 대수 ($ℍ$), 팔원수 대수 ($𝕆$) 가운데 하나이다.
• $𝔠𝔬𝔫(\mathrm{H}(2;𝕂))$의 $\{0,\pm 1\}$ 등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 $2+{\dim }_{ℝ}𝕂\in \{3,4,6,10\}$차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.

역사

칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠 · 이사이 리보비치 칸토르(틀:Llang, 1936~2006) · 막스 쾨허(틀:Llang, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.