실베스터 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 실베스터 행렬(Sylvester行列, 틀:Llang)은 두 다항식의 공약 다항식에 대한 정보를 담고 있는 정사각 행렬이다.^[1]

정의

가환환 $R$ 계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 $p, q \in R [x]$ 의 실베스터 행렬은 $(\deg p + \deg q) \times (\deg p + \deg q)$ 정사각 행렬이다. 구체적으로, 만약

p (x) = \sum_{i = 0}^{m} p_{i} x^{i}

q (x) = \sum_{i = 0}^{n} q_{i} x^{i}

p_{m} q_{n} \neq 0

라면, $p$ 와 $q$ 의 실베스터 행렬은 다음과 같은 $(m + n) \times (m + n)$ 행렬이다.

S (p, q) = (\begin{matrix} p_{m} & p_{m - 1} & p_{m - 2} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & p_{m} & p_{m - 1} & p_{m - 2} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & p_{m} & p_{m - 1} & p_{m - 2} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & p_{m} & p_{m - 1} & p_{m - 2} & \dots & p_{1} & p_{0} \\ q_{n} & q_{n - 1} & q_{n - 2} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & q_{n} & q_{n - 1} & q_{n - 2} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & q_{n} & q_{n - 1} & q_{n - 2} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & q_{n} & q_{n - 1} & q_{n - 2} & \dots & q_{1} & q_{0} \end{matrix})

가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수의 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식 $p, q \in R [x]$ 에 대하여,

\deg (\gcd (p, q)) = \deg p + \deg q - rank S (p, q)

이다. 여기서 $rank$ 는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 두 다항식 $p, q \in K [x]$ 가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은 $S (p, q)$ 가 가역 행렬인 것이며, $p ∣ q$ 일 필요충분조건은 $rank S (p, q) = \deg q$ 이다.

제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.^[2]틀:Rp