종결식

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 종결식(終結式, 틀:Llang)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬의 행렬식이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$를 계수로 갖는 두 다항식

$p(x)=p_{\mathrm{deg}p}{x}^{\mathrm{deg}p}+\cdots \in K[x]$

$q(x)=q_{\mathrm{deg}q}{x}^{\mathrm{deg}q}+\cdots \in K[x]$

의 종결식은 다음과 같다.

$\mathrm{res}(p,q)=p_{\mathrm{deg}p}^{\mathrm{deg}q}{q}_{\mathrm{deg}q}^{\mathrm{deg}q}\prod _{x:p(x)=0}\prod _{y:q(y)=0}(x-y)$

즉, $p$의 근들과 $q$의 근들의 모든 차들의 곱이다. 이 경우, 근이 중복된다면 중복수만큼 거듭하여 계산한다.

두 다항식의 종결식은 실베스터 행렬의 행렬식과 같다. 이는 $p$와 $q$의 계수들의 다항식이므로, 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 가환환의 계수를 갖는 다항식환에서 정의할 수 있다.

성질

임의의 가환환 $R$ 및 $p,q,r\in R[x]$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (등급 가환성) $\mathrm{res}(p,q)=(-1{)}^{\mathrm{deg}p\mathrm{deg}q}\mathrm{res}(q,p)$
• (승법성) $\mathrm{res}(pq,r)=\mathrm{res}(p,r)\mathrm{res}(q,r)$

대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 0이 아닌 $p,q\in K[x]$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathrm{res}(p,q)=0$
• $p$와 $q$는 적어도 하나의 근을 공유한다.
• $p$와 $q$의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

같이 보기

• 판별식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드