포흐하머 기호

틀:위키데이터 속성 추적 조합론에서 포흐하머 기호(틀:Llang)는 연속의 정수들의 곱을 나타내는 기호 $(x)_{n}$ 또는 $x^{(n)}$ 이다.

정의

포흐하머 기호의 표현에는 두 종류가 있다. 하나는 하강 계승(틀:Llang)

x^{\underline{n}} = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1) = \frac{x!}{(x - n)!} = \frac{Γ (x + 1)}{Γ (x - n + 1)}

이고, 다른 하나는 상승 계승(틀:Llang)

x^{\overline{n}} = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n - 1) = \frac{(x + n - 1)!}{(x - 1)!} = \frac{Γ (x + n)}{Γ (x)}

이다. 정의에 따라 $(x)_{0} = x^{(0)} = 1$ 이다.

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 수학 분야에 따라서, 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.

밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.^[1]

하강 포흐하머 기호

p_{n} (x) = x^{\underline{n}}

및 상승 포흐하머 기호

q_{n} (x) = x^{\overline{n}}

는 각각 이항형 다항식열을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 경우

(x + 1)^{\underline{n}} - x^{\underline{n}} = ((x + 1) - (x - n + 1)) x^{\underline{n - 1}} n x^{\underline{n - 1}}

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

Δ_{+} f = (\exp (\frac{d}{d x}) - 1) f = f (x + 1) - f (x)

이다. 마찬가지로, 상승 포흐하머 기호의 경우

x^{\overline{n}} - (x - 1)^{\overline{n}} = ((x + n - 1) - (x - 1)) x^{\overline{n - 1}} = n x^{\overline{n - 1}}

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 후방 유한 차분

Δ_{-} f = (1 - \exp (- \frac{d}{d x})) f = f (x + 1) - f (x)

이다.

프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려 $(x)_{n}$ 을 이항계수 $(\binom{x}{n})$ 을 나타내는 데 사용하였다.^[1]