브라운 표현 정리

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 브라운 표현 정리(Brown表現定理, 틀:Llang)는 위상 공간의 호모토피 범주 위의 함자가 표현 가능 함자인지 여부에 대한 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

점을 가진 연결 CW 복합체와 호모토피류의 범주 $h C W_{∙}^{con}$ 를 생각하자. 이 범주는 모든 연결 공간의 약한 호모토피 동치에 대한 호모토피 범주와 동치이다.

F : h C W_{∙}^{con} \to S e t_{∙}^{op}

가 주어졌다고 하자. 브라운 표현 정리에 따르면, $F$ 가 표현 가능 함자일 필요충분조건은 $F$ 가 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

$F$ 는 쌍대곱을 보존한다. 즉, $h C W_{∙}^{con}$ 의 쌍대곱(쐐기합)을 $S e t_{∙}^{op}$ 의 쌍대곱 ( $S e t_{∙}$ 의 곱, 즉 곱집합)으로 대응시킨다.
$F$ 는 $h C W_{∙}^{con}$ 의 약한 밂(틀:Llang, 즉 호모토피 밂)을 $S e t_{∙}^{op}$ 의 약한 밂( ${Set}_{∙}$ 의 약한 당김)으로 대응시킨다.

브라운 표현 정리는 연결 공간 또는 점을 가진 공간 조건을 생략한다면 더 이상 성립하지 않는다.^[1]

브라운 표현 정리에 따라, 각 아벨 군 $G \in Ab$ 및 차수 $n \in ℕ$ 에 대하여 특이 코호몰로지 $H^{n} (-; G)$ 는 표현 가능 함자를 이룬다. 이를 표현하는 CW 복합체는 에일렌베르크-매클레인 공간 $K (G, n)$ 이다.

에드거 헨리 브라운 2세(틀:Llang)가 1962년에 증명하였다.^[2]