사영 극한

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 사영 극한(射影極限, 틀:Llang) 또는 역극한(逆極限, 틀:Llang)은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합의 반대 범주로 나타낸다.) 기호는 $\underleftarrow{\lim }$ 또는 $\mathrm{proj\; lim}$. 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

정의

범주 $𝒞$ 속의 여과 체계(틀:Llang) $((X_i{)}_{i\in I},(f_{ij}{)}_{i\lesssim j})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, 대상 $X_i\in \mathrm{ob}(𝒞)$
• 임의의 $i\lesssim j$에 대하여, 사상 $f_{ij}:X_j\to X_i$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 함자 $I^{\mathrm{op}}\to 𝒞$를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • 임의의 $i\in I$에 대하여, $f_{ii}={\mathrm{id}}_{X_i}$
  • 임의의 $i\lesssim j\lesssim k$에 대하여, $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$

범주 $𝒞$ 속의 여과 체계 $((X_i{)}_{i\in I},(f_{ij}{)}_{i\lesssim j})$의 사영 극한 $(X,({\pi }_i:X\to X_i{)}_{i\in I})$은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.

• 대상 $X\in \mathrm{ob}(𝒞)$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, 사상 ${\pi }_i:X\to X_i$

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i\lesssim j$에 대하여, ${\pi }_i=f_{ij}\circ {\pi }_j$
• 만약 $Y\in \mathrm{op}(𝒞)$와 $({\psi }_i:Y\to X_i{)}_{i\in I}$가 임의의 $i\lesssim j$에 대하여 ${\psi }_i=f_{ij}\circ {\psi }_j$를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 $u:Y\to X$가 존재한다.
  • 임의의 $i\in I$에 대하여, ${\psi }_i={\pi }_i\circ u$

보통 $X=\underleftarrow{\lim }{X}_i$로 쓴다.

예

사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

대수 구조 다양체

임의의 대수 구조 다양체 $𝒱$에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 $((A_i{)}_{i\in (I,\lesssim )},({\varphi }_{ij}:A_j\to A_i{)}_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수

$\underleftarrow{\lim }{A}_i=\{a\in \prod _{i\in I}{A}_i:a_i={\varphi }_{ij}(a_j)(i\lesssim j)\}$

및 사영 함수

$\underleftarrow{\lim }{A}_i\to A_i(i\in I)$

들로 주어진다.

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\mathrm{Top}$에서, 여과 체계 $((X_i{)}_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij}{)}_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든 $X_i$가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 $X_i$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 $X_i$가 공집합인 것이다.

균등 공간

마찬가지로, 균등 공간과 균등 연속 함수들의 범주 $\mathrm{Unif}$ 속 여과 체계 $((X_i{)}_{i\in (I,\lesssim )},(f_{ij}{)}_{i\lesssim j})$의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든 $X_i$가 하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 $X_i$가 공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab