류스테르니크-시니렐만 범주

틀:위키데이터 속성 추적 틀:좋은 글 대수적 위상수학에서 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, 틀:Llang) 또는 LS 범주(틀:Lang)는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

정의

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

열린 덮개를 통한 정의

CW 복합체와 호모토피 동치인 $X$로 정의된 점을 가진 공간 $(X,{\bullet }_X)$가 주어졌으며 ${\bullet }_X\hookrightarrow X$가 쌍대올뭉치라고 하자.

$(X,\bullet )$의 류스테르니크-시니렐만 범주 $\mathrm{cat}(X)$를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 $\kappa$로 정의한다.

조건: $X$를 덮는 어떤 $(\kappa +1)$ 개의 열린 덮개 $(U_i,{\bullet }_X{)}_{0\le i\le \kappa }$가 존재해서, 모든 포함 함수 $U_i\hookrightarrow X$가 상수 함수와 호모토피 동치이다.

만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, $\mathrm{cat}(X)=\mathrm{\infty }$로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 $\kappa$ 대신 $(\kappa +1)$로 정의한다.

화이트헤드의 정의

영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 $𝒞$가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.

육면체 공리(틀:Llang): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림

에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다.

(육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 $\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet$의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 $(\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet {)}^{\mathrm{op}}$는 $\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet$와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X$의 $n$차 부케가르니(틀:Llang) 또는 뚱뚱한 쐐기합(틀:Llang) $T^n\to X^n$은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.

• $T_1\simeq \bullet$이다.
• $T_n\to X^n$이 주어졌을 때, $T_{n+1}\to X^{n+1}$은 모형 범주 $𝒞/X^{n+1}$에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다.

$\begin{array}{ccc}{T}_n\times \bullet & \to & X^n\times \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ T_n\times X& \to & T_{n+1}\end{array}$

특히, 다음이 성립한다.

$T_2\simeq X\vee X$ (스스로와의 쌍대곱)

점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

$T_n=\bigcup _{i=0}^{n-1}{X}^i\times \{\bullet \}\times X^{n-i-1}\subseteq X^n$

즉, 이는 $T_n$은 곱공간 $X^n$에서, 적어도 한 좌표가 밑점 $\bullet$이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

$(X,\bullet )$의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 $f:X\to T_n$가 존재하는 최소의 자연수 $n$이다.

$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{f}{\to }& T_n\\ \Vert & & \downarrow \\ X& \to \mathrm{diag}& X^n\end{array}$

여기서 $\mathrm{diag}:X\to X^n$은 대각 사상이다.

가네아의 정의

영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 $𝒞$를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X$에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

$\begin{array}{ccccc}{F}_0& \hookrightarrow & G_0& \twoheadrightarrow & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \Vert \\ F_1& \hookrightarrow & G_1& \twoheadrightarrow & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \Vert \\ F_2& \hookrightarrow & G_2& \twoheadrightarrow & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \Vert \\ ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$

여기서

• $G_0\simeq \bullet$이다.
• 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, $F_n$은 올뭉치 $G_n\twoheadrightarrow X$의 호모토피 올이다.)

  $\begin{array}{ccc}{F}_n& \hookrightarrow & G_n\\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & X\end{array}$

• 다음과 같은 네모들은 모형 범주 $𝒞/X$에서의 호모토피 밂이다.

  $\begin{array}{ccc}{F}_n& \hookrightarrow & G_n\\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & G_{n+1}\end{array}$

이를 가네아 올뭉치(틀:Llang)라고 한다. 이제, $X$의 류스테르니크-시니렐만 범주 $\mathrm{cat}(X)$는

${\pi }_n:G_n\to X$

이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) $X\to G_n$을 가질 수 있는 최소의 자연수 $n$이다.

점을 가진 공간의 범주에서, $G_0$은 경로 공간 $\mathrm{Path}(X)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet }(𝕀,X)$으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 $F_0=\mathrm{\Omega }X={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet }({𝕊}^1,X)$이다. 이 경우

$F_n=(\mathrm{\Omega }X{)}^{\star n}$

으로 잡을 수 있다. (여기서 $\star$는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우

$G_1=\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Omega }X$

로 잡을 수 있다. 여기서 $\mathrm{\Sigma }$는 축소 현수이다.

정의 사이의 관계

영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 $\mathrm{Top}\mathrm{\setminus }\bullet$일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

성질

류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

연산에 대한 호환

다음이 성립한다. (여기서 $\vee$는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)

$\mathrm{cat}(X\vee Y)=\max \{\mathrm{cat}(X),\mathrm{cat}(Y)\}$틀:Rp

$\mathrm{cat}(X\times Y)\le \mathrm{cat}(X)+\mathrm{cat}(Y)$틀:Rp

만약 사상 $f:X\to Y$가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, $\mathrm{cat}(X)\ge \mathrm{cat}(Y)$이다.틀:Rp

올뭉치

$F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B$

에 대하여,

$\mathrm{cat}(E)\le (\mathrm{cat}(F)+1)(\mathrm{cat}(B)+1)-1$

이다.틀:Rp

임의의 점을 가진 공간 $(Z,\bullet )$의, 크기 2의 열린 덮개

$X,Y\subseteq Z$

$\bullet \in X\cap Y$

$X\cup Y=Z$

가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{cat}(X\cup Y)\le \mathrm{cat}(X)+\mathrm{cat}(Y)+1$틀:Rp

차원과의 관계

위상 공간 $X$가 $(k-1)$-연결 공간이라고 하자. 즉,

${\pi }_i(X)=0\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\dots ,k-1\}$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{cat}(X)\le \frac{\dim X}{k}$

여기서 $\dim X$는 $X$의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

모스 이론과의 관계

연결 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위의 연속 미분 가능 함수 $f:M\to ℝ$의 임계점의 집합

$\mathrm{Crit}(f)=\{x\in M:\mathrm{d}f=0\}$

의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.틀:Rp

$|\mathrm{Crit}(f)|\ge \mathrm{cat}(M)+1$

증명 개략:

$\mathrm{Crit}(f)=\mathrm{\infty }$일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 $f$가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

$M$에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, $f$의 기울기 흐름

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\varphi }_t(x)={\mathrm{d}}^{\mathrm{\#}}f{|}_{{\varphi }_t(x)}$

을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 $c\in \mathrm{Crit}f$에 대하여

$W_c=\{x\in M:\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varphi }_t(x)=c\}$

를 정의하자. $M$이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 $M$의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 $W_c\hookrightarrow M$은 모두 상수 함수 $W_c\to \{c\}\subseteq M$와 호모토피 동치이다.

이제, 각 $W_c$에 대하여, ${\tilde{W}}_c\supseteq W_c$이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 ${\tilde{W}}_c$을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.틀:Rp 즉, $({\tilde{W}}_c{)}_{c\in \mathrm{Crit}(f)}$는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 ${𝕊}^n$을 유클리드 공간 ${ℝ}^{n+1}$ 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.

코호몰로지 길이와의 관계

일반적으로, 위상 공간 $X$의, $n$개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.

${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \tilde{\mathrm{H}}(X)$

$\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}\ni ̸0$

${\alpha }_1⌣\cdots ⌣{\alpha }_n\ne 0$

그렇다면,

$\mathrm{cat}(X)\ge n$

이다.

유리수 류스테르니크-시니렐만 범주

유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 ${\mathrm{cdgAlg}}_{\mathbb{Q}}$를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

${\mathrm{cdgAlg}}_{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$

는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 $\{\bullet \}\hookrightarrow X$에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 $A\to \mathbb{Q}$의 류스테르니크-시니렐만 범주를

${\mathrm{cat}}_0(X)$

라고 표기하자. 이는 사실 $X$와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.틀:Rp 특히, 다음이 항상 성립한다.

${\mathrm{cat}}_0(X)\le \mathrm{cat}(X)$

또한, 만약 $X$와 $Y$가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{cat}}_0(X\times Y)={\mathrm{cat}}_0(X)+{\mathrm{cat}}_0(Y)$

예

점을 가진 공간	류스테르니크-시니렐만 범주
축약 가능 공간틀:Rp	0
초구틀:Rp ${𝕊}^n$, $n\ge 1$	1
축약 불가능한 현수 $\mathrm{\Sigma }X$틀:Rp	1
원환면틀:Rp ${𝕋}^n$	$n$
실수 사영 공간틀:Rp ${ℝ\mathrm{P}}^n$	$n$
복소수 사영 공간틀:Rp ${ℂ\mathrm{P}}^n$	$n$
종수 $g$의 가향 콤팩트 곡면 ${\mathrm{\Sigma }}_g$	$\min \{g,2\}$
콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 $M$틀:Rp	$(\dim M)/2$
${𝕊}^2\times {𝕋}^2$틀:Rp	3

콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$에 대하여 $\mathrm{cat}M=(\dim M)/2$의 증명:틀:Rp

심플렉틱 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$의 드람 코호몰로지류

$[\omega ]\in {\mathrm{H}}^2(M;ℝ)$

를 생각하자. 그렇다면,

$0\ne [\omega {]}^{(\dim M)/2}\in {\mathrm{H}}^{\dim M}(M;ℝ)$

이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 $M$의 코호몰로지 길이는 $(\dim M)/2$ 이상이며,

$\frac{\dim M}{2}\le \mathrm{cat}M$

이다. 반면, $M$이 단일 연결 공간이므로 $\mathrm{cat}M\le (\dim M)/2$이다.

역사

라자리 류스테르니크

라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(틀:Lang, 틀:Lang)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 틀:임시링크가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 틀:임시링크가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(틀:Llang)가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.

같이 보기

• 가네아 추측
• 단면 범주 - 류스테르니크-시니렐만 범주를 올다발에 대해 일반화한 개념.

외부 링크

• 틀:Eom