극분해

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 틀:Llang)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다.

정의

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소

$A:H\to H$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 $(U,P)$이다.

• $U,P:H\to H$는 유계 작용소이다.
• $A=U\circ P$이다.
• $U:H\to H$의 경우, $H/\ker U\to H$는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
• $P$는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 $v\in H$에 대하여 $⟨v|H|v⟩\in [0,\mathrm{\infty })\subseteq ℂ$이다.
• $(\ker U{)}^{\perp }=\mathrm{cl}(PH)$이다. (여기서 $\mathrm{cl}(-)$은 폐포이다.)

사실, 항상

$P=\sqrt{A^{*}A}=|A|$

임을 보일 수 있다.

성질

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소 $A:H\to H$의 극분해 $(U,P)$는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

폰 노이만 대수의 경우

$P$는 $\{A\}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다. $U$는 $\{A\}$로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 $A$가 $\mathrm{B}(H,H)$의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), $U$는 $\{A\}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다.

이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

유한 차원의 경우

만약 $H$가 유한 차원이며 $A$가 가역 행렬이라면, $A$의 극분해 $(U,P)$에서 $U$는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 $H$가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, $H$가 유한 차원일 때,

$\det A=\det U\det P$

이므로

$\det P=|\det A|\in [0,\mathrm{\infty })$

$\det U\in \{z\in ℂ:|z|=1\}$

이다.

예

유한 차원

임의의 복소수 $z\in ℂ$를 유계 작용소 $z\cdot :ℂ\to ℂ$로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.

$z=\exp (\mathrm{i}\theta )\cdot r(r\in [0,\mathrm{\infty }))$

보다 일반적으로, ${ℂ}^n$ 위의 대각 행렬

$\mathrm{diag}(r_1\exp (\mathrm{i}{\theta }_1),\dots ,r_n\exp (\mathrm{i}{\theta }_n)):{ℂ}^n\to {ℂ}^n({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n\in ℝ,r_1,\dots ,r_n\in {ℝ}_{\ge 0})$

의 극분해는 다음과 같다.

$\mathrm{diag}(r_1\exp (\mathrm{i}{\theta }_1),\dots ,r_n\exp (\mathrm{i}{\theta }_n))=\mathrm{diag}(\exp (\mathrm{i}{\theta }_1),\dots ,\exp (\mathrm{i}{\theta }_n))\mathrm{diag}(r_1,\dots ,r_n)$

무한 차원

르베그 공간

$H={\ell }^2(\mathbb{N};ℂ)$

을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자

$A:(z_0,z_1,\dots )\mapsto (0,z_0,z_1,\dots )$

를 생각하자. 이 경우,

$A^{*}A=1$

이므로 극분해 $(P,U)$는

$P=1$

$U=A$

이다. 특히, $U$는 유니터리 작용소가 되지 못한다.

같이 보기

• 카르탕 대합
• 행렬 분해

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab