단순 함수

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 단순 함수(單純函數, 틀:Llang)는 유한 가지 값만을 가지는 가측 함수이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• $𝕂$-바나흐 공간 $V$
• 가측 공간 $(X,𝒮)$

그렇다면, $X$에서 $V$로 가는 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수이다.

$f:X\to V$

$f=\sum _{i=1}^n{v}_i{\chi }_{S_i}$

$v_i\in V$

$S_i\in 𝒮$

$n\in \mathbb{N}$

여기서 $\chi$는 지시 함수이다.

성질

모든 단순 함수는 가측 함수이다. 따라서 단순 함수의 열의 점별 극한은 (만약 존재한다면) 가측 함수이다. 페티스 가측성 정리에 따라, 만약 공역 $V$가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, 가측 함수는 단순 함수의 열의 점별 극한과 동치이다. 그러나 일반적인 바나흐 공간 값 함수의 경우 단순 함수의 열의 점별 극한이 아닌 가측 함수가 존재할 수 있다.

예

모든 지시 함수 또는 계단 함수는 단순 함수이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드