완전 유계 공간

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, 틀:Llang) 또는 프리콤팩트 공간(틀:Llang)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의

균등 공간을 통한 정의

균등 공간 $(X, ℰ)$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.

임의의 측근 $E \in ℰ$ 에 대하여, $X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, \dots, X_{n}^{2} \subseteq E$ 인 유한 $X$ -덮개 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \subseteq X$ , $⋃_{i = 1}^{n} X_{i} = X$ 가 존재한다.
$(X, ℰ)$ 의 완비화는 콤팩트 공간이다.
$X$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
$X$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.^[1]

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

근접 공간을 통한 정의

틀:구별2 집합 $X$ 위의 근접 구조(틀:Llang)는 다음 조건들을 만족시키는, 멱집합 위의 이항 관계 $δ \subseteq 𝒫 (X) \times 𝒫 (X)$ 이다.

$\forall A \subseteq X : \emptyset ≁_{δ} A$
$\forall x \in X : {x} \sim_{δ} {x}$
$\forall A, B \subseteq X : A \sim_{δ} B ⟹ B \sim_{δ} A$
$\forall A, B, C \subseteq X : A \sim_{δ} B \subseteq C ⟹ A \sim_{δ} C$
$\forall A, B, C \subseteq X : A \sim_{δ} (B \cup C) ⟹ A \sim_{δ} B \lor A \sim_{δ} C$
$\forall A, B \subseteq X : A ≁_{δ} X ∖ B ⟹ (\exists C \subseteq X : A ≁_{δ} X ∖ C \land C ≁_{δ} X ∖ B)$

근접 공간(틀:Llang)은 근접 구조를 갖춘 집합이다.

두 근접 공간 $(X, δ_{X})$ 와 $(Y, δ_{Y})$ 사이의 근접 함수(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to Y$ 이다.

임의의 $A, B \subseteq X$ 에 대하여, 만약 $A \sim_{δ_{X}} B$ 라면, $f (A) \sim_{δ_{Y}} f (B)$ 이다.

다음과 같은 3개의 범주를 생각하자.

$Top$ : 위상 공간과 연속 함수의 범주
$Prox$ : 근접 공간과 근접 함수의 범주. 특히, 근접 함수의 합성은 근접 함수이다.
$Unif$ : 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주

근접 공간 $(X, δ)$ 위에 다음과 같은 폐포 또는 근방 필터를 정의하여 위상 공간으로 만들 수 있다.

cl A = {x \in X : {x} \sim_{δ} A}

𝒩_{x} = {N \subseteq X : {x} ≁_{δ} X ∖ N}

이 경우, 모든 근접 함수는 연속 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

F : Prox \to Top

를 이룬다.

임의의 균등 공간 $(X, ℰ)$ 가 주어졌을 때, $𝒫 (X)$ 위에 다음과 같은 이항 관계 $δ$ 를 정의하자.

A \sim_{δ} B ⟺ \forall E \in ℰ \exists a \in A \exists b \in B : a \sim_{E} b

그렇다면, $(X, δ)$ 는 근접 공간을 이루며, 그 근접 위상은 균등 위상과 일치한다. 또한, 모든 균등 연속 함수는 근접 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

G : Unif \to Prox

를 정의하며, $G F$ 는 균등 공간의 범주와 위상 공간의 범주 사이의 충실한 함자와 일치한다. 근접 공간 또는 균등 공간의 범주론적 곱 위의 위상은 곱위상과 일치하지만, 균등 공간의 곱 위의 접근 구조는 일반적으로 곱 근접 구조가 아니다. 즉, $F$ 와 $G F$ 는 곱을 보존하지만, $G$ 는 아니다. 특히, $G$ 는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다.

반대로, 임의의 근접 공간 $(X, δ)$ 에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조가 존재한다. 즉, 근접 공간은 균등 공간들의 근접 동형에 따른 동치류로 여길 수 있다. 또한 임의의 근접 공간 $(X, δ)$ 에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조 가운데 가장 엉성한 균등 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 기본계에 의하여 정의된다.

ℬ = {⋃_{i = 1}^{n} D_{i} \times D_{i} : n \in ℕ, ℂ_{1}, \dots, C_{n}, D_{1}, \dots, D_{n} \subseteq X, X = ⋃_{i = 1}^{n} C_{i}, C_{i} ≁_{δ} X ∖ D_{i}}

균등 공간에서 위와 같은 꼴의 균등 공간으로 가는 모든 접근 함수는 균등 연속 함수이다. 따라서, 이는 다음과 같은 충실충만한 매장 함자를 정의하며, 또한 이는 $G$ 의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

H : Prox \to Unif

G ⊣ H

이에 따라, $Prox$ 는 $Unif$ 의 어떤 충만한 부분 범주 $TBUnif$ 와 동형이다. 또한, $TBUnif$ 는 $Unif$ 의 반사 부분 범주를 이루며, 또한 전반사 부분 범주이자 단반사 부분 범주이다. $TBUnif$ 의 대상을 완전 유계 공간이라고 한다. 즉, 균등 공간 $(X, ℰ)$ 에 대하여, 만약 $ℰ$ 가 그와 같은 접근 구조를 유도하는 균등 구조들 가운데 가장 엉성하다면, $(X, ℰ)$ 를 완전 유계 공간이라고 한다. 이 정의는 균등 공간을 통한 정의와 동치이다.

성질

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 완전 유계 공간이다.
$X$ 의 완비화 $\bar{X}$ 는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

콤팩트 공간이다.
완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

완전 유계 거리 공간

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 $(X, d)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[3]틀:Rp

완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $ϵ > 0$ 에 대하여, 반지름이 $ϵ$ 인 열린 공들로 구성된 유한 $X$ -덮개가 존재한다.
$X$ 의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예

유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

유계 공간이다.
완전 유계 공간이다.